《2025年实验班中考数学压轴题》

2.（烟台模拟）如图，$AB = 10$，将线段 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ})$ 得线段 $AD$，连接 $BD$，以 $AB,AD$ 为边作菱形 $ABCD$，在射线 $AB$ 上取一点 $E$，连接 $DE$ 交 $BC$ 于点 $F$，在 $FE$ 上取一点 $G$，使 $\angle CBG = \angle EBG$。
(1)判断 $DB$ 与 $BG$ 的位置关系，并说明理由。
(2)当改变旋转角 $\alpha$ 的大小，使 $BD$ 的长度为 $12$ 时，若 $DG:GE = 2:1$，求 $\tan\angle BGD$ 的值。
(3)当 $B$ 为线段 $AE$ 的中点时，无论旋转角 $\alpha$ 取何值 $(0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ})$，在射线 $AB$ 上是否存在一点 $Q$，使 $GQ$ 的长度固定不变？若存在，请作出图形并求出 $GQ$ 的长度；若不存在，请说明理由。

答案：
2.　
(1)DB⊥BG.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD,即∠ABC=2∠CBD.
∵∠CBG=∠EBG,
∴∠CBE=2∠CBG.
∵∠ABC+∠CBE=180°,
∴2∠CBD+2∠CBG=180°,
∴∠CBD+∠CBG=90°,
∴DB⊥BG.
(2)如图
(1),连接AC,分别交BD,DE于点O,H.
　　　　　　　
∵四边形ABCD是菱形,AB=10,BD=12，
∴AC⊥BD,OB=OD=6,OA=OC,CD//AB,∠DCH=∠ACB.在Rt△ABO中，
　OA=$\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8,
∴OC=8.
∵DB⊥BG,
∴BG//AC,
∴△DHO∽△DGB,∠BGD=∠DHO,
∴$\frac{OH}{BG}$=$\frac{DH}{DG}$=$\frac{DO}{BD}$=$\frac{1}{2}$,
∴BG=2OH,DG=2DH.
∵DG:GE=2:1,
∴DG=2GE,
∴DH=GE.
∵CD//AB,
∴∠CDH=∠BEG.
∵BG//AC,
∴∠AHD=∠BGD,
　即180°−∠CHD=180°−∠BGE,
∴∠CHD=∠BGE,
∴△CDH≌△BEG(ASA),
∴CH=BG,
∴CH=2OH,
∴OH=$\frac{1}{3}$OC=$\frac{8}{3}$;在Rt△DHO中,tan∠BGD=
　tan∠DHO=$\frac{OD}{OH}$=$\frac{6}{\frac{8}{3}}$=$\frac{9}{4}$.
(3)在射线AB上存在一点Q，使GQ的长度固定不变，如图
(2),过点G作GQ//BC交AE于点Q.
　　　　　　　
∵B为线段AE的中点，
∴BE=AB=10.
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=AB=10,AB//CD,
∴BE=CD,∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠C;
∴△BEF≌△CDF(ASA),
∴BF=CF=5.
∵GQ//BC,
∴∠CBG=∠BGQ.
∵∠CBG=∠EBG,
∴∠BGQ=∠EBG,
∴BQ=GQ.
　设BQ=x,则GQ=x,EQ=10−x.
∵GQ//BC,
∴△EGQ∽△EFB,
∴$\frac{GQ}{BF}$=$\frac{EQ}{BE}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{10−x}{10}$,解得x=$\frac{10}{3}$,
∴GQ=$\frac{10}{3}$.