《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90°$,$AB = 10\ \mathrm{cm}$,$BC = 6\ \mathrm{cm}$,若点$P$从点$A$出发,以每秒$4\ \mathrm{cm}$的速度沿折线$A - C - B - A$运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}(t ＞ 0)$.
(1)若点$P$在$AC$上,且满足$PA = PB$时,求出此时$t$的值;
(2)若点$P$恰好在$\angle BAC$的平分线上,求$t$的值;
(3)在运动过程中,直接写出当$t$为何值时,$\triangle BCP$为等腰三角形.

思路分步解析
(1)(第一步:求$AC$的长)在$\triangle ABC$中,利用勾股定理,得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = $8$\ \mathrm{cm}$;
(第二步:求运动时间)已知$AP = 4t\ \mathrm{cm}$,则$CP = $8 - 4t$\ \mathrm{cm}$,$PA = PB$.在$\triangle BCP$中,用勾股定理列方程即可求解.
(2)(第一步:作辅助线构造全等三角形,求$BH$)作$PH \perp AB$,易证$\triangle ACP \cong $△AHP$$,得$AH = AC = 8\ \mathrm{cm}$,即$BH = $2$\ \mathrm{cm}$;
(第二步:求$t$的值)在$\triangle BPH$中,利用勾股定理列方程,求解即可.
(3)根据运动的位置分$BC = PC$,$PC = BP$,$BC = BP$三种情况加以讨论求解.

答案：
典例思路分步拆解:
(1)8　8 - 4t　
(2)△AHP　2
解:
(1)如图
(1),当点P在AC上时，
∵∠ACB = 90°,BC = 6,AB = 10,
∴AC = 8,AP = 4t,CP = 8 - 4t.
又PA = PB,
∴(4t)² = 6² + (8 - 4t)²,解得t = $\frac{25}{16}$.
　
(2)如图
(2)，点P在∠BAC的平分线上，作PH⊥AB，
∴PC = PH = 4t - 8,PB = 14 - 4t,易证△ACP≌△AHP,
∴AH = AC = 8,
∴BH = 2.
在Rt△BPH中,BH² + PH² = BP²,
即2² + (4t - 8)² = (14 - 4t)²,解得t = $\frac{8}{3}$.
(3)①如图
(3),当PC = BC = 6时,
此时AP = AC - PC = 2,
∴t = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$;
　
②如图
(4),当点P在AB上,PC = BC时，
作CH⊥AB,则有PH = BH,由AC·BC = AB·CH,可得
CH = 4.8,
由勾股定理，得BH = 3.6,
∴PB = 7.2,则有BP = 4t - 14,
∴4t - 14 = 7.2,解得t = $\frac{53}{10}$;
　
③如图
(5),当PC = BP时,作CH⊥AB,
由②得CH = 4.8,又得BP = (4t - 14)cm,
或可证得点P为AB中点,利用BP = 5简化运算可得CH² + PH² = PC²,即4.8² + (4t - 17.6)² = (4t - 14)²,解得t = $\frac{19}{4}$;
　
④如图
(6),当BC = BP时,此时BP = (4t - 14)cm,
∴4t - 14 = 6，解得t = 5.
　
综上可知，当t为$\frac{1}{2}$，$\frac{53}{10}$，$\frac{19}{4}$或5时，△BCP为等腰三角形。