《2025年实验班中考数学压轴题》

(河南中考)定义:有两个内角的差为$ 90° $的三角形叫作“反直角三角形”.如图,在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC = 5 $,$ BC = 8 $,$ P $为边$ BC $上一点,若$ \triangle APC $为“反直角三角形”,则$ BP $的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$.
思路分步拆解
(第一步:分析出几种情况)根据“反直角三角形”的定义,需要分情况加以讨论:①$ \angle APC - \angle C = $90$° $;②$ \angle APC - \angle CAP = $90$° $;③$ \angle CAP - \angle C = $90$° $;④$ \angle CAP - \angle APC = $90$° $.对四种情形分别进行讨论求得$ BP $的长;
(第二步:根据情况①求$ BP $)①当$ \angle APC - \angle C = 90° $时,过点$ A $作$ AD \perp BC $于点$ D $,由等腰三角形的性质得到$ BD = CD = $4$ $,证明$ \triangle ADB \sim \triangle $PAB$ $,得到$ \frac{AB}{PB} = \frac{BD}{BA} $,即可求出$ BP $的长;
(第三步:根据情况②求$ BP $)②当$ \angle APC - \angle CAP = 90° $时,过点$ P $作$ PM \perp BC $交$ AC $于点$ M $,由等角对等边得到$ AM = PM $,再证明$ \triangle CMP \sim \triangle $CAD$ $,设$ CP = x $,进而得出$ PM = \frac{3}{4}x $,$ CM = \frac{5}{4}x $.根据$ AC = AM + CM = PM + CM $,求出$ x $的值,可求出$ BP $的长;
(第四步:根据情况③④求$ BP $)③当$ \angle CAP - \angle C = 90° $时,利用锐角三角函数,得出$ \angle C ＞ 30° $,$ \angle BAC ＜ 120° $,即此种情况不存在;
④当$ \angle CAP - \angle APC = 90° $时,同③理可证,此种情况不存在.

答案：
典例思路分步拆解:90　90　90　90　4　PAB　CAD 不存在　不存在
$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$　[解析]
∵AB=AC=5,
∴∠B=∠C.
∵∠APC=∠B+∠BAP,
∴∠APC＞∠B,
∴∠APC＞∠C.若△APC 为“反直角三角形”，①当∠APC - ∠C = 90°时,过点A作AD⊥BC于点D,如图
(1).
∵AB=AC=5,BC=8,
∴BD = CD=$\frac{1}{2}$BC = 4,
∴在Rt△ABD中,由勾股定理，得AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$ = 3.
∵∠B = ∠C,
∴∠APC - ∠B = ∠BAP = 90°.
∵∠B = ∠B,∠ADB = ∠PAB = 90°,
∴△ADB∽△PAB,
∴$\frac{AB}{PB}$ = $\frac{BD}{BA}$,
∴$\frac{5}{BP}$ = $\frac{4}{5}$,
∴BP = $\frac{25}{4}$;②当∠APC - ∠CAP = 90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M,如图
(2),
∴∠APC - ∠APM = ∠CPM = 90°,
∴∠CAP = ∠APM,
∴AM = PM.
∵PM⊥BC,AD⊥BC,
∴PM//AD,
∴△CMP∽△CAD,
∴$\frac{CP}{CD}$ = $\frac{PM}{DA}$ = $\frac{CM}{CA}$.设CP = x,则BP = 8 - x,
∴$\frac{x}{4}$ = $\frac{PM}{3}$ = $\frac{CM}{5}$,PM = $\frac{3x}{4}$,CM = $\frac{5x}{4}$,
∴AC = AM + CM = PM + CM = $\frac{3x}{4}$ + $\frac{5x}{4}$ = 5,
∴x = $\frac{5}{2}$,
∴BP = 8 - $\frac{5}{2}$ = $\frac{11}{2}$;③当∠CAP - ∠C = 90°时,
∵sin∠C = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{3}{5}$,sin30° = $\frac{1}{2}$,且$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$,
∴∠C＞30°,
∴∠BAC＜120°.若∠CAP - ∠C = 90°,则∠CAP＞120°,即∠CAP＞∠BAC,
∴此种情况不存在;④当∠CAP - ∠APC = 90°时，当点P与点B重合时，∠APC最小,此时∠APC＞30°,同③理可证，此种情况不存在.综上所述，BP的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{11}{2}$.