《2025年实验班中考数学压轴题》

3. (中山一中模拟)如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，且 $ OA = 2OB $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，连接 $ BC $，抛物线对称轴为直线 $ x = \frac{1}{2} $。$ D $ 为第一象限内抛物线上一动点，过点 $ D $ 作 $ DE \perp OA $ 于点 $ E $，与 $ AC $ 交于点 $ F $，设点 $ D $ 的横坐标为 $ m $。
(1) 求抛物线的函数解析式。
(2) 当线段 $ DF $ 的长度最大时，求 $ \sin \angle DCF $ 的值。
(3) 点 $ P $ 是抛物线对称轴上的一点，点 $ G $ 是坐标平面内的一点，是否存在点 $ P $，使得以点 $ P $，$ B $，$ C $，$ G $ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：

(1)由OA = 2OB，设B(t,0)，则A(- 2t,0)。
∵抛物线对称轴为直线x = $\frac{1}{2}$，
∴ - $\frac{1}{2}$t = - 2t - $\frac{1}{2}$，解得t = - 1，
∴A(2,0)，B(- 1,0)。将A(2,0)，B(- 1,0)代入y = ax² + bx + 2，得$\begin{cases}4a + 2b + 2 = 0 \\a - b + 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 1 \\b = 1\end{cases}$
∴抛物线的函数解析式为y = - x² + x + 2。
(2)如图，连接DC，在y = - x² + x + 2中，令x = 0，得y = 2，
∴C(0,2)。
设直线AC的解析式为y = kx + 2，
将A(2,0)代入，得2k + 2 = 0，解得k = - 1，
∴直线AC的解析式为y = - x + 2。设D(m, - m² + m + 2)，则F(m, - m + 2)，
∴DF = - m² + m + 2 - (- m + 2) = - m² + 2m = - (m - 1)² + 1。
∵ - 1 ＜ 0，
∴当m = 1时，DF取最大值，最大值是1，此时D(1,2)，F(1,1)。
∵C(0,2)，
∴∠CDF = 90°，CF = $\sqrt{(0 - 1)² + (2 - 1)²}$ = $\sqrt{2}$，
∴sin∠DCF = $\frac{DF}{CF}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

(3)存在点P，使得以点P，B，C，G为顶点的四边形是菱形。理由如下：
设P($\frac{1}{2}$,n)，G(r,s)，又B(- 1,0)，C(0,2)。
①若以PB，CG为对角线，则PB，CG的中点重合，且BC = BG，
注意分类讨论
$\begin{cases}\frac{1}{2} - 1 = 0 + r \\n + 0 = 2 + s \\(- 1 - 0)² + (0 - 2)² = (r + 1)² + s²\end{cases}$
解得$\begin{cases}r = - \frac{1}{2} \\n = 2 + \frac{\sqrt{19}}{2} \\s = - \frac{\sqrt{19}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}r = - \frac{1}{2} \\n = 2 - \frac{\sqrt{19}}{2} \\s = \frac{\sqrt{19}}{2}\end{cases}$
∴P($\frac{1}{2}$,2 + $\frac{\sqrt{19}}{2}$)或($\frac{1}{2}$,2 - $\frac{\sqrt{19}}{2}$)。
②若以PC，BG为对角线，则PC，BG的中点重合，且BC = BP，
$\begin{cases}\frac{1}{2} + 0 = - 1 + r \\n + 2 = s + 0 \\(- 1 - 0)² + (0 - 2)² = (- 1 - \frac{1}{2})² + n²\end{cases}$
解得$\begin{cases}r = \frac{3}{2} \\n = \frac{\sqrt{11}}{2} \\s = 2 + \frac{\sqrt{11}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}r = \frac{3}{2} \\n = - \frac{\sqrt{11}}{2} \\s = 2 - \frac{\sqrt{11}}{2}\end{cases}$
∴P($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{11}}{2}$)或($\frac{1}{2}$,- $\frac{\sqrt{11}}{2}$)。
③若以PG，BC为对角线，则PG，BC的中点重合，且BP = BG，
$\begin{cases}\frac{1}{2} + r = - 1 + 0 \\n + s = 0 + 2 \\(- 1 - \frac{1}{2})² + (0 - n)² = (r + 1)² + (s - 0)²\end{cases}$
解得$\begin{cases}r = - \frac{3}{2} \\n = \frac{1}{2} \\s = \frac{3}{2}\end{cases}$
∴P($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)。
综上所述，点P的坐标为($\frac{1}{2}$,2 + $\frac{\sqrt{19}}{2}$)或($\frac{1}{2}$,2 - $\frac{\sqrt{19}}{2}$)或($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{11}}{2}$)或($\frac{1}{2}$,- $\frac{\sqrt{11}}{2}$)或($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)。

4. 如图，抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ OA = 2 $，$ OC = 6 $，连接 $ AC $ 和 $ BC $。
(1) 求抛物线的函数解析式。
(2) 点 $ D $ 在抛物线的对称轴上，当 $ \triangle ACD $ 的周长最小时，点 $ D $ 的坐标为 $ $($\frac{1}{2}$,-5)$ $。
(3) $ E $ 是第四象限内抛物线上的动点，连接 $ CE $ 和 $ BE $，求 $ \triangle BCE $ 面积的最大值及此时点 $ E $ 的坐标。
(4) 若 $ M $ 是 $ y $ 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $ N $，使以点 $ A $，$ C $，$ M $，$ N $ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $ N $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：

(1)
∵OA = 2，OC = 6，
∴A(- 2,0)，C(0, - 6)。
∵抛物线y = x² + bx + c过点A，C，
∴$\begin{cases}4 - 2b + c = 0 \\c = - 6\end{cases}$
∴$\begin{cases}b = - 1 \\c = - 6\end{cases}$
∴抛物线的函数解析式为y = x² - x - 6。
(2)($\frac{1}{2}$,- 5) [解析]如图
(1)，
∵当y = 0时，x² - x - 6 = 0，解得x₁ = - 2，x₂ = 3，
∴B(3,0)，抛物线的对称轴为直线x = $\frac{1}{2}$。
∵点D在直线x = $\frac{1}{2}$上，点A，B关于直线x = $\frac{1}{2}$对称，
∴xD = $\frac{1}{2}$，AD = BD，
∴当点B，D，C在同一直线上时，△ACD的周长最小。
两点之间线段最短
设直线BC的解析式为y = kx - 6(k ≠ 0)，
∴3k - 6 = 0，解得k = 2，
∴直线BC的解析式为y = 2x - 6，
∴yD = 2×$\frac{1}{2}$ - 6 = - 5，
∴D($\frac{1}{2}$,- 5)。

(3)如图
(2)，过点E作EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F。设E(t,t² - t - 6)(0 ＜ t ＜ 3)，则F(t,2t - 6)，
∴EF = 2t - 6 - (t² - t - 6) = - t² + 3t，
∴S△BCE = S△BEF + S△CEF = $\frac{1}{2}$EF·BH + $\frac{1}{2}$EF·OH = $\frac{1}{2}$EF·(BH + OH) = $\frac{1}{2}$EF·OB = $\frac{1}{2}$×3(- t² + 3t) = - $\frac{3}{2}$(t - $\frac{3}{2}$)² + $\frac{27}{8}$，
∴当t = $\frac{3}{2}$时，△BCE的面积最大，
∴yE = ($\frac{3}{2}$)² - $\frac{3}{2}$ - 6 = - $\frac{21}{4}$，
∴当点E的坐标为($\frac{3}{2}$,- $\frac{21}{4}$)时，△BCE的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$。

(4)存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形。
∵A(- 2,0)，C(0, - 6)，
∴AC = $\sqrt{2² + 6²}$ = 2$\sqrt{10}$。
①若AC为菱形的边，如图
(3)所示，则MN//AC，且MN = AC = 2$\sqrt{10}$，
∴N₁(- 2,2$\sqrt{10}$)，N₂(- 2, - 2$\sqrt{10}$)，N₃(2,0)；
②若AC为菱形的对角线，如图
(4)所示，则AN₄//CM₄，
AN₄ = CN₄，设N₄(- 2,n)，
∴ - n = $\sqrt{2² + (n + 6)²}$，
解得n = - $\frac{10}{3}$，
∴N₄(- 2, - $\frac{10}{3}$)。

综上所述，点N的坐标为(- 2,2$\sqrt{10}$)或(- 2, - 2$\sqrt{10}$)或(2,0)或(- 2, - $\frac{10}{3}$)。