《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 分类讨论思想 定义新运算：$ a \otimes b = \begin{cases}\frac{a}{b}(a \geq 0), \\ \frac{b}{a}(a \lt 0),\end{cases}$例如：$ 1 \otimes 3 = \frac{1}{3} $，$ -2 \otimes 1 = -\frac{1}{2} $，则$ y = x \otimes 2 $的大致图象是( )。

答案： 2. C [解析]当$x\geq0$时，$y=\frac{x}{2}$为一次函数，当$x＜0$时，$y=\frac{2}{x}$为反比例函数。故选C。

3. (乐山中考)定义：若$ x, y $满足$ x^2 = 4y + t $，$ y^2 = 4x + t $且$ x \neq y(t $为常数$) $，则称点$ M(x, y) $为“和谐点”。
(1)若$ P(3, m) $是“和谐点”，则$ m = \boldsymbol{$$-7$$} $；
(2)若双曲线$ y = \frac{k}{x}(-3 \lt x \lt -1) $存在“和谐点”，则$ k $的取值范围为$\boldsymbol{$$3＜k＜4$$}$。

答案： 3.
(1)$-7$ [解析]
∵$P(3,m)$是“和谐点”，
∴$\begin{cases}4m+t=9,\\12+t=m^{2},\end{cases}$消去$t$，得到$m^{2}+4m-21=0$，解得$m=-7$或$3$。
∵$x\neq y$，
∴$m=-7$。
(2)$3＜k＜4$ [解析]
∵双曲线$y=\frac{k}{x}(-3＜x＜-1)$存在“和谐点”，
∴$\begin{cases}x^{2}=\frac{4k}{x}+t①,\frac{k^{2}}{x^{2}}=4x+t②,\end{cases}$
① - ②，得$(x+\frac{k}{x})(x-\frac{k}{x})=-4(x-\frac{k}{x})$，
利用平方差公式因式分解
∴$(x-\frac{k}{x})(x+\frac{k}{x}+4)=0$。
∵$x\neq y$，
∴$x+\frac{k}{x}+4=0$，整理，得$k=-x^{2}-4x=-(x+2)^{2}+4$。
∵$-3＜x＜-1$，且$x\neq-2$，
∴$3＜k＜4$。

4. 实验班原创 我们定义一种新函数：形如$ y = |ax^2 + bx + c|(a \neq 0, b^2 - 4ac \gt 0) $的函数叫作“鹊桥”函数。某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数$ G: y = |x^2 - x - 6| $的图象(如图所示)，下列结论错误的是(C)。

A.图象与坐标轴的交点为$ A(-2, 0) $，$ B(3, 0) $，$ C(0, 6) $
B.若$ (x_0, y_0) $在函数图象上，则$ (1 - x_0, y_0) $也在函数图象上
C.当$ x = \frac{1}{2} $时，函数取得最大值
D.当直线$ y = -x + m $与函数$ G $的图象有$ 4 $个交点时，则$ m $的取值范围是$ 3 \lt m \lt 7 $

答案：
4. C [解析]
∵$y=|x^{2}-x-6|$，
∴当$x=0$时，$y=6$；当$y=0$时，$x^{2}-x-6=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$，
∴图象与坐标轴的交点为$A(-2,0)$，$B(3,0)$，$C(0,6)$，故A正确；由题可得图象的对称轴为直线$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$，若$(x_{0},y_{0})$在函数图象上，则$(1-x_{0},y_{0})$也在函数图象上，故B正确；由图象可知，当$x\leq-2$或$x\geq3$时，函数值$y$随$x$值的增大而增大，且无最大值，故C错误；如图，

当直线$y=-x+m$过点$B$时，直线与函数图象恰好有3个交点，即$0=-3+m$，解得$m=3$，当$y=-x+m$与$-2＜x＜3$之间的图象相切时，恰好有三个交点，当$-2＜x＜3$时，$-x+m=-x^{2}+x+6$，整理得$-x^{2}+2x+6-m=0$，
∴$\Delta=2^{2}-4×(-1)×(6-m)=0$，解得$m=7$，
∴当直线$y=-x+m$与函数$G$的图象有4个交点时，则$m$的取值范围是$3＜m＜7$，故D正确。故选C。

5. (济南莱芜区一模)对于实数$ a, b $，定义新运算$ a * b = \begin{cases}a^2 - ab(a \geq b), \\ b^2 - ab(a \lt b),\end{cases}$若函数$ y = x * (2x - 1) $，则下列结论正确的有( )。
①方程$ x * (2x - 1) = 0 $的解为$ x = 0 $或$ x = 1 $；
②关于$ x $的方程$ x * (2x - 1) = m $有三个解，则$ 0 \leq m \lt \frac{1}{2} $；
③当$ x \lt \frac{1}{2} $时，$ y $随$ x $增大而增大；
④当$ x \gt \frac{1}{2} $时，函数$ y = x * (2x - 1) $有最大值$ 0 $。

A.$ 1 $个
B.$ 2 $个
C.$ 3 $个
D.$ 4 $个

答案：
5. B [解析]①当$x\geq2x-1$，即$x\leq1$时，$x*(2x-1)=x^{2}-x(2x-1)=x^{2}-2x^{2}+x=-x^{2}+x$，
∴$-x^{2}+x=0$，
∴$x=0$或$x=1$；当$x＜2x-1$，即$x＞1$时，$x*(2x-1)=(2x-1)^{2}-x(2x-1)=4x^{2}-4x+1-2x^{2}+x=2x^{2}-3x+1$，
∴$2x^{2}-3x+1=0$，
∴$x=1$(不符合题意，舍去)或$x=\frac{1}{2}$(不符合题意，舍去)。综上所述，方程$x*(2x-1)=0$的解为$x=0$或$x=1$，故①说法正确；②由①可得当$x\geq2x-1$时，即$x\leq1$，$y=-x^{2}+x=-(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}$，
∴$-x^{2}+x$的最大值为$\frac{1}{4}$，当$x＜2x-1$时，即$x＞1$，$y=2x^{2}-3x+1=2(x-\frac{3}{4})^{2}-\frac{1}{8}$，
∴$2x^{2}-3x+1$的最小值为$-\frac{1}{8}$，如图所示，

当$0＜m＜\frac{1}{4}$时，方程$x*(2x-1)=m$有三个解，故结论②错误；当$x＜1$时，$y=-x^{2}+x$。
∵$-1＜0$，
∴抛物线的开口方向向下，当$x＜\frac{1}{2}$时，$y$随$x$增大而增大，
∴③的结论正确；当$x＞1$时，函数$y=2x^{2}-3x+1=2(x-\frac{3}{4})^{2}-\frac{1}{8}$，
∵$2＞0$，
∴抛物线的开口向上，当$x＞1$时，$y$随$x$增大而增大，
∴当$x＞\frac{1}{2}$时，函数$y=x*(2x-1)$没有最大值，
∴④的结论不正确。综上，正确的结论有①③，共2个。故选B。

6. 定义新运算：$ [a, b, c] = a(c \lt a \lt b) $，即$ [a, b, c] $的取值为$ a, b, c $的中位数，例如：$ [1, 2, 3] = 2 $，$ [3, 4, 8] = 4 $，已知函数$ y = \left[ x + 2, \frac{3}{x}, 2x \right](x \neq 0) $与直线$ y = b $有$ 3 $个交点时，则$ b $的取值范围为$\boldsymbol{$$-\sqrt{6}＜b＜-1$或$\sqrt{6}＜b＜3$$}$。

答案：
6. $-\sqrt{6}＜b＜-1$或$\sqrt{6}＜b＜3$ [解析]绘制函数$y=x+2$，$y=\frac{3}{x}$，$y=2x$的图象如图所示。

令$x+2=\frac{3}{x}$，解得$x=-3$或$1$，因此函数$y=x+2$与函数$y=\frac{3}{x}$的交点坐标为$A(-3,-1)$，$D(1,3)$。令$\frac{3}{x}=2x$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，因此函数$y=2x$与函数$y=\frac{3}{x}$的交点坐标为$B(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\sqrt{6})$，$E(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$；令$x+2=2x$，解得$x=2$，因此函数$y=x+2$与函数$y=2x$的交点坐标为$F(2,4)$。因为函数$y=\begin{cases}x+2,\frac{3}{x},\\2x\end{cases}(x\neq0)$与直线$y=b$有3个交点，所以$b$的取值范围为$-\sqrt{6}＜b＜-1$或$\sqrt{6}＜b＜3$。

7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形$ OABC $的顶点坐标分别为$ A(8, 0) $，$ C(0, 6) $。把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点。
(1)矩形$ OABC $(不包含边界)内的偶点的个数为$\boldsymbol{$$6$$}$；
(2)若双曲线$ L: y = \frac{k}{x} $上($ x \gt 0 $)将矩形$ OABC $(不包含边界)内的偶点平均分布在其两侧，则$ k $的整数值有$\boldsymbol{$$3$$}$个。
答案见$ P2 $

答案： 7.
(1)6 [解析]四边形$OABC$是矩形，$A(8,0)$，$C(0,6)$，
∴$B(8,6)$，
∴偶点有$(2,2)$，$(2,4)$，$(4,2)$，$(4,4)$，$(6,2)$，$(6,4)$，
∴矩形$OABC$(不包含边界)内的偶点共有6个。
(2)3 [解析]当$y=\frac{k}{x}$经过点$(4,2)$时，$k=8$，当$y=\frac{k}{x}$经过点$(6,2)$时，$k=12$，
∴$8＜k＜12$时，偶点平均分布在$y=\frac{k}{x}$的两侧，
∴$k$的整数值为$9$，$10$，$11$。
故$k$的整数值有3个。