《2025年实验班中考数学压轴题》

1. (连云港中考)如图,正比例函数$ y_1=k_1x(k_1＜0) $的图象与反比例函数$ y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＜0) $的图象交于$ A,B $两点,点$ A $的横坐标为$ -1 $.当$ y_1＜y_2 $时,$ x $的取值范围是(C).

A.$ x＜-1 $或$ x＞1 $
B.$ x＜-1 $或$ 0＜x＜1 $
C.$ -1＜x＜0 $或$ x＞1 $
D.$ -1＜x＜0 $或$ 0＜x＜1 $

答案： 1.C[解析]由双曲线的对称性，得点B的横坐标为1，
∴当$y_1＜y_2$时,x的取值范围为−1＜x＜0或x＞1.
　故选C.

2. (宜宾中考)如图,$ O $是坐标原点,反比例函数$ y=-\frac{4}{x}(x＞0) $与直线$ y=-2x $交于点$ A $,点$ B $在$ y=-\frac{4}{x}(x＞0) $的图象上,直线$ AB $与$ y $轴交于点$ C $,连接$ OB $,若$ AB=3AC $,则$ OB $的长为(D).

A.$ \sqrt{10} $
B.$ \frac{5\sqrt{2}}{2} $
C.$ \sqrt{34} $
D.$ \frac{\sqrt{130}}{2} $

答案：
2.D[解析]如图，过点A作AD
　⊥x轴交于点D,过点B作BE
　⊥x轴交于点E.
∵反比例函数$y = - \frac {4} {x}(x＞0)$
　　　　　　　　　　　　　　 与直线$y = - 2x$交于点A,
∴联立,得$- \frac {4} {x}= - 2x$，
解得$x = \sqrt {2}$或$- \sqrt {2}$(舍去),
∴$OD = \sqrt {2}$.
∵AD⊥x轴,BE⊥x轴，
∴AD//BE,
∴$\frac {AB} {AC}= \frac {DE} {OD}$.
　　　　　平行线分线段成比例
∵AB=3AC,
∴$3 = \frac {DE} {\sqrt {2}}$,即$DE = 3 \sqrt {2}$,
∴$OE = \sqrt {2} + 3 \sqrt {2} = 4 \sqrt {2}$,
∴将$x = 4 \sqrt {2}$代入,得$y = - \frac {4} {x}= - \frac {4} {4 \sqrt {2}}= - \frac {\sqrt {2}} {2}$,
∴$BE = \frac {\sqrt {2}} {2}$,
∴$OB = \sqrt {OE^2 + BE^2} = \frac {\sqrt {130}} {2}$.
　故选D.

3. (杭州外国语学校自主招生)已知直线$ l:y=-x+b(b＞0) $与$ x $轴交于点$ A $,$ P $是函数$ y=\frac{k}{x}(x＞0,k＞0) $图象上的一点,且$ PO=PA $($ O $为坐标原点),若$ \triangle POA $的面积为$ 1 $,则$ k $的值为(A).

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ \frac{1}{2} $
D.无法确定

答案： 3.A　[解析]在$y = - x + b(b＞0)$中,令y=0,解得x=b,则点A的坐标是(b,0).
∵PO=PA,
∴P在OA的中垂线上，
∴P的横坐标是$\frac{1}{2}b$.
　把$x = \frac {1} {2}b$代入函数$y = \frac {k} {x}(x＞0,k＞0)$,得$y = \frac {2k} {b}$,则△POA的面积=$\frac{1}{2} · b · \frac {2k} {b} = k = 1$.
　故选A

$4.  ($陕西中考$)$如图$,$过原点的直线与反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k＞0) $的图象交于$ A(m,n),B(m-6,n-6) $两点$,$则$ k $的值为　　$9$　　$.$　　

答案： 4.9　[解析]
∵过原点的直线与反比例函数$y = \frac {k} {x}(k＞0)$的图象交于A(m,n),B(m−6,n−6)两点，
∴A(m,n),B(m−6,n−6)两点关于原点O对称，
　即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与
B的纵坐标互为相反数，
∴−m=m−6,−n=n−6,
∴m=3,n=3,
∴A(3,3).
　把A(3,3)代入$y = \frac {k} {x}$,得$3 = \frac {k} {3}$,解得$k = 9$.

5. (新疆中考)如图,在平面直角坐标系中,直线$ y=kx(k＞0) $与双曲线$ y=\frac{2}{x} $交于$ A,B $两点,$ AC\perp x $轴于点$ C $,连接$ BC $交$ y $轴于点$ D $,结合图象判断下列结论:①点$ A $与点$ B $关于原点对称;②$ D $是$ BC $的中点;③在$ y=\frac{2}{x} $的图象上任取点$ P(x_1,y_1) $和点$ Q(x_2,y_2) $,如果$ y_1＞y_2 $,那么$ x_1＞x_2 $;④$ S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2} $.其中正确结论的个数是(C).

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案：
5.C　[解析]如图,作BE⊥x轴，垂足为E.
　①根据反比例函数图象关于原点
　成中心对称图形，故结论正确;
　②
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB.
　　　　　　　　　　　　　　　 在△OBE和△OAC中，
　$\begin{cases} ∠EOB = ∠COA, \cr ∠OEB = ∠OCA, \cr OA = OB, \end{cases}$
∴△OBE≌△OAC(AAS),
∴OE=OC.
∵EB//y轴，
∴△OCD∽△ECB.
∵OE=OC,
∴$\frac {OC} {CE} = \frac {CD} {CB} = \frac {1} {2}$,
∴D是CB的中点，故结论正确;
　③在每个象限内，y随x的增大而减小，故结论错误;④$S_{\triangle BOD} = \frac {1} {2}S_{\triangle BOC} = \frac {1} {2}S_{\triangle AOC} = \frac {1} {2} × 1 = \frac {1} {2}$,故结论正确.其中正确的结论是①②④，共3个.故选C.

$6. $数形结合思想$ ($齐齐哈尔中考$)$如图$,$在平面直角坐标系中$,$一次函数$ y=-x-1 $的图象与反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k\neq0) $的图象在第二象限内交于点$ A ,$与$ x $轴交于点$ B ,$点$ C $坐标为$ (0,3) ,$连接$ AC,BC ,$若$ AC=BC ,$则实数$ k $的值为　　$−6$　　$.

答案： 6.−6　[解析]当y=0时,0=−x−1,解得x=−1,
∴点B的坐标为(−1,0).
∵点C坐标为(0,3),
∴$BC = \sqrt {OB^2 + OC^2} = \sqrt {1^2 + 3^2} = \sqrt {10}$.
　设点A坐标为(m,−m−1),
∴$AC^2 = (m - 0)^2 + (-m -1 - 3)^2 = 2m^2 + 8m + 16$.
∵AC=BC,
∴$AC^2 = BC^2$,
∴$2m^2 + 8m + 16 = 10$,
解得$m_1 = - 3$,$m_2 = - 1$(不合题意,舍去),
∴m=−3,
∴点A坐标为(−3,2),
∴$2 = \frac {k} {- 3}$,解得$k = - 6$.