《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 实验班原创 如图,点$ P $是$ \angle AOB $内任意一点,且$ \angle AOB = 35° $,点$ M $和点$ N $分别是射线$ OA $和射线$ OB $上的动点,当$ \triangle PMN $周长取最小值时,则$ \angle MPN $的度数为(B).

A.$ 145° $
B.$ 110° $
C.$ 100° $
D.$ 70° $

答案：
1. B　[解析]如图,作点P关于OB的对称点E,连接EP,EO,EM,作点P关于OA的对称点F,连接NF,PF,OF,OP,
∴EM = MP,∠MPO = ∠OEM,
PN = FN,∠OPN = ∠OFN,
∴PM + PN + MN = EM + NF +
MN≥EF,
∴当E,M,N,F四点共线时,△PMN的周长最小.由对称可知,∠EOM = ∠MOP,∠PON = ∠FON,
∴∠EOF = 2∠MOP + 2∠PON = 2∠AOB.
∵∠AOB = 35°,
∴∠EOF = 70°,
∴∠MPN = 180° - 70° = 110°.故选B.

2. 如图,$ \angle AOB = 60° $,点$ P $是$ \angle AOB $内一定点,并且$ OP = 4 $,点$ M,N $分别是射线$ OA $,$ OB $上异于点$ O $的动点,当$ \triangle PMN $的周长取最小值时,点$ O $到线段$ MN $的距离为(B).

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案：
2. B　[解析]如图,分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P",连接OP',OP",P'P",则P'P"与OB的交点为点N',P'P"与OA的交点为点M',连接PN',PM',则此时P'P"的值即为△PMN的周长的最小值,过点O作OC⊥P'P"于点C,

由对称性可知,OP = OP' = OP".
∵∠AOB = 60°,
∴∠P'OP" = 2×60° = 120°,
∴∠OP'P" = ∠OP"P' = 30°.
∵OP = 4,OC⊥P'P",
∴OC = $\frac{1}{2}$OP' = 2.故选B.

3. 如图,在矩形$ ABCD $中,$ AB = 8 $,$ AD = 5 $,动点$ P $在四边形内部且到$ AB $的距离为$ 3 $,则点$ P $到$ A,B $两点距离之和$ PA + PB $的最小值为10.

答案：
3. 10　[解析]
∵动点P在四边形内部且到AB的距离为3,
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是3的直线l上.
如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,BE,
则BE的长就是PA + PB的最小值.

在Rt△ABE中,
∵AB = 8,AE = 3 + 3 = 6,
∴BE = $\sqrt{AE^{2}+AB^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}+8^{2}}$ = 10,即PA + PB的最小值为10.

4. 如图,平面直角坐标系中$ A,B $两个村庄的坐标分别为$ (2,3) $,$ (8,4) $,现在$ x $轴上方建一个边长为$ 1 $的正方形驿站$ CDEF $,点$ E $和点$ F $在$ x $轴上,大门$ P $为$ CD $的中点,则大门到两个村庄的距离$ PA + PB $的最小值为$\sqrt{61}$.

答案：
4. $\sqrt{61}$　[解析]如图,过点A作关于直线CD的对称点A',连接A'B,则A'B的长度即为PA + PB的最小值.
∵点A的坐标为(2,3),CF = 1,
∴点A'的坐标为(2, - 1).
∵B(8,4),
∴A'B = $\sqrt{(8 - 2)^{2}+[4 - (-1)]^{2}}$ = $\sqrt{61}$,
∴PA + PB的最小值为$\sqrt{61}$.

5. (贵阳永乐一中二模)如图,在四边形$ ABCD $中,$ \angle A = \angle C = 90° $,点$ M,N $分别是边$ BC,AB $上的动点,$ \angle B = 56° $,当$ \triangle DMN $的周长取最小值时,则$ \angle MDN $的度数是68°.

答案：
5. 68°　[解析]如图,延长DA到点E使DA = AE,延长DC到点F,使CF = DC,连接EF交AB于点N,交BC于点M,

此时,△DMN的周长最小.
∵∠DAB = ∠DCB = 90°,
∴DM = FM,DN = EN,
垂直平分线的性质
∴∠E = ∠ADN,∠F = ∠CDM.
∵∠B = 56°,
∴∠ADC = 124°,设∠MDN = α,
∴∠ADN + ∠CDM = 124° - α,
∴∠DNM + ∠DMN = 2(124° - α),
∴α + 2(124° - α) = 180°,解得α = 68°.

6. 如图,$ \angle AOB = 30° $,点$ M,N $分别是$ OA,OB $上的动点,$ OP $平分$ \angle AOB $,且$ OP = 6 $,当$ \triangle PMN $的周长取最小值时,$ MN $的长为(B).

A.$ 3 $
B.$ 12\sqrt{3} - 18 $
C.$ 2\sqrt{3} - 1 $
D.$ 2.5 $

答案：
6. B　[解析]作点P关于OA的对称点C,作点P关于OB的对称点D,连接CD,分别交OA,OP,OB于点M,Q,N,如图所示.

∴PM = CM,OP = OC,∠COA = ∠POA,PN = DN,OP = OD,∠DOB = ∠POB,
∴OC = OD = OP = 6,
∠COD = ∠COA + ∠POA + ∠POB + ∠DOB = 2∠POA + 2∠POB = 2∠AOB = 60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD = OC = OD = 6.
∵OP平分∠AOB,
∴∠POA = ∠POB,
∴∠POC = ∠POD,
∴OP⊥CD,OQ = 6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 3$\sqrt{3}$,
∴PQ = 6 - 3$\sqrt{3}$.设MQ = x,则PM = CM = 3 - x,
∴(3 - x)² - x² = (6 - 3$\sqrt{3}$)²,解得x = 6$\sqrt{3}$ - 9,则MN = 2x = 12$\sqrt{3}$ - 18.故选B.

7. (广元苍溪一模)如图,已知正方形$ ABCD $边长为$ 3 $,点$ E $在边$ AB $上且$ BE = 1 $,点$ P,Q $分别是边$ BC,CD $的动点(均不与顶点重合),当四边形$ AEPQ $的周长取最小值时,四边形$ AEPQ $的面积是(B).

A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{9}{2} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{3}{5} $

答案：
7. B　[解析]如图所示,作E关于BC的对称点E',作点A关于DC的对称点A',连接A'E',分别交BC,CD于点P,Q,则此时四边形AEPQ的周长最小.
∵AD = A'D = 3,BE = BE' = 1,
∴AA' = 6,AE' = 4.
∵DQ//AE,D是AA'的中点,
∴DQ是△AA'E'的中位线,
∴DQ = $\frac{1}{2}$AE' = 2,

CQ = DC - DQ = 3 - 2 = 1.
∵BP//AA',
∴△BE'P∽△AE'A',
∴$\frac{BP}{AA'}=\frac{BE'}{AE'}$,即$\frac{BP}{6}=\frac{1}{4}$,
∴BP = $\frac{3}{2}$,
∴CP = BC - BP = 3 - $\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$,S四边形AEPQ = S正方形ABCD - S△ADQ - S△PCQ - S△BEP = 9 - $\frac{1}{2}$×AD·DQ - $\frac{1}{2}$×CQ·CP - $\frac{1}{2}$×BE·BP = 9 - $\frac{1}{2}$×3×2 - $\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$.故选B.

8. 如图,$ MN $是$ \odot O $的直径,$ A,B,C $是$ \odot O $上的三点,$ \angle ACM = 60° $,$ B $是弧$ AN $的中点,$ P $是$ MN $上一动点,若$ \odot O $的半径为$ 2 $,则$ PA + PB $的最小值为2$\sqrt{2}$.

答案：
8. 2$\sqrt{2}$　[解析]如图,过点B作MN的垂直平分线交⊙O于点B',连接AB'交MN于点P,连接PB,OA,OB,OB'.

∵MN是BB'的垂直平分线,
∴PB' = PB,
∴PA + PB = PA + PB' = AB',
即PA + PB的最小值为AB'.
∵∠ACM = 60°,
∴∠AOM = 2∠ACM = 120°（圆周角定理）
∴∠AON = 180° - ∠AOM = 60°.
∵B是弧AN的中点,
∴∠BON = $\frac{1}{2}$∠AON = 30°.
∵MN是BB'的垂直平分线,
∴$\overset{\frown}{BN}=\overset{\frown}{B'N}$,
∴∠B'ON = ∠BON = 30°,
∴∠AOB' = ∠AON + ∠B'ON = 60° + 30° = 90°,
∴△AOB'是直角三角形.
∵OA = OB' = 2,
∴在Rt△AOB'中,由勾股定理,得AB' = $\sqrt{OA^{2}+OB'^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$,
∴PA + PB的最小值为2$\sqrt{2}$.