《2025年实验班中考数学压轴题》

典例1
如图，在平面直角坐标系中，$Rt\triangle AOB$ 的一条直角边 $OB$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 的坐标为 $(-6,4)$。在 $Rt\triangle COD$ 中，$\angle COD = 90°$，$OD = 3\sqrt{3}$，$\angle D = 30°$，连接 $BC$，$M$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AM$。将 $Rt\triangle COD$ 以点 $O$ 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 $AM$ 的最小值是(D)。
A.$\dfrac{13}{2}$
B.$2\sqrt{13} - \dfrac{13}{2}$
C.$2\sqrt{13} - 2$
D.$\dfrac{7}{2}$
思路分步拆解
(第一步：算半径定轨迹)先求出 $OC$ 的长，进而可得出点 $C$ 的运动轨迹是以点O为圆心,3为半径的圆；
(第二步：转化 $AM$)延长 $BA$ 到点 $E$，使 $AE = AB$，利用中位线的性质将 $AM$ 的最小值转化为EC的最小值。

答案：
典例1思路分步拆解:以点O为圆心,3为半径的圆　EC
D[解析]在Rt△OCD中,tanD=$\frac{OC}{OD}$，则$\frac{OC}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以OC=3,则点C在以点O为圆心，3为半径的圆上.如图，延长BA到点E,使AE=AB,连接EC.
　　　　　　　
又M是BC的中点，所以AM是△EBC的中位线，则AM=
$\frac{1}{2}$EC.连接EO,与⊙O交于点C',在Rt△EBO中,EO=
$\sqrt{8^{2}+6^{2}}$=10,所以EC'=10−3=7,即EC的最小值为7,所以AM的最小值为$\frac{7}{2}$.故选D.

典例2
如图，等腰三角形 $ABC$ 的面积为 $2\sqrt{3}$，$AB = AC$，$BC = 2$。作 $AE // BC$ 且 $AE = \dfrac{1}{2}BC$。点 $P$ 是线段 $AB$ 上一动点，连接 $PE$，过点 $E$ 作 $PE$ 的垂线交 $BC$ 的延长线于点 $F$，$M$ 是线段 $EF$ 的中点。那么，当点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，点 $M$ 的运动路径长为(B)。

A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
思路分步拆解
(第一步：确定点 $M$ 的运动轨迹)过点 $A$ 作 $AH \perp BC$ 于点 $H$。当点 $P$ 与 $A$ 重合时，点 $F$ 与C重合，当点 $P$ 与 $B$ 重合时，点 $F$ 的对应点为 $F''$，点 $M$ 的运动轨迹是 $\triangle ECF''$ 的中位线；
(第二步：找相似三角形)证明 $\triangle ECB \backsim \triangle$F"CE，利用相似三角形的性质求出 $CF''$ 的长为6，即可解决问题。

答案：
典例2思路分步拆解:C　F"CE　6
B[解析]如 图,过点A作AH⊥BC于点H.
当点P与A重合时，点F的对应点F'与C重合;
当点P与B重合时，点F的对应点为F”,
∴点M的运动轨迹是△ECF"的中位线,M'M"=$\frac{1}{2}$CF".
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH.
∵AE//BC,AE=$\frac{1}{2}$BC,
∴AE=CH,
∴四边形AHCE是平行四边形.
∵∠AHC=90°,
∴四边形AHCE是矩形，
∴EC⊥BF",AH=EC.
∵BC=2,S△ABC=2√3,
∴$\frac{1}{2}$×2×AH=2√3,
∴AH=EC=2$\sqrt{3}$.
∵∠BEF"=∠ECB=∠ECF",
∴∠BEC+∠CEF"=90°,∠CEF"+∠F"=90°,
∴∠BEC=∠F",
∴△ECB∽△F"CE,
∴EC²=CB·CF",
∴CF"=$\frac{(2\sqrt{3})^{2}}{2}$=6,
∴M'M"=3.故选B.