《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 已知一次函数$ y = -x + k $的图象如图(1)所示，它的图象经过第一象限的点$ P(m, n) $，$ PM \perp x $轴于点$ M $，$ PN \perp y $轴于点$ N $，且矩形$ MONP $的周长为8。
(1) 求$ k $的值；
(2) 如图(2)，当$ a = -1 $时，请求出抛物线$ y = ax^2 - 3ax + c $（$ a \lt 0 $，$ 0 \leq x \leq 3 $）与直线$ y = -x + k $只有一个有公共点时，$ c $的取值范围。

思路分步拆解
(1) 用待定系数法即可求解；
(2)（第一步：抛物线与直线相交）若抛物线$ y = ax^2 - 3ax + c $（$ a \lt 0 $，$ 0 \leq x \leq 3 $）与直线$ y = -x + k $只有一个交点，抛物线$ y = -x^2 + 3x + c $开口向下，故当$ x = 0 $时，抛物线在直线下方，当$ x = 3 $时，抛物线在直线上方，解得$ c $的取值范围是$ 0 \lt c \leq 4 $；
（第二步：抛物线与直线相切）联立抛物线与直线方程，整理，得$ x^2 - 4x + 4 - c = 0 $。因为抛物线与直线相切，所以$ \Delta = 16 - 4(4 - c) = $$ 4c $，即可求得$ c $的值。

答案： 解:
(1)由题意,知OM=m,ON=n,
∴2(m+n)=8,
∴m+n=4.
∵直线y=−x+k过点P(m,n),
∴n=−m+k,
∴k=m+n=4.
(2)当a=−1时,y=−x²+3x+c=−x(x−3)+c,抛物线经过点(0,c),(3,c).
①在y=−x+4中,当x=0时,y=4;当x=3时,y=1;在y=−x²+3x+c中,当x=0时,y=c;当x=3时,y=c;
∴当1＜c≤4时，此抛物线与直线有1个公共点;
②−x²+3x+c+x−4=0,即x²−4x+4−c=0.
∵当抛物线与直线相切时，此时整个抛物线与直线有且只有一个交点，
∴16−4(4−c)=0,解得c=0,此时切点为(2,2),符合题意.由相切得到根的判别式为0
综上所述，当抛物线与直线只有一个公共点时，c的取值范围是1＜c≤4或c=0.