《2025年实验班中考数学压轴题》

1. （盐城阜宁一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力$G$的方向竖直向下，支持力$F_1$的方向与斜面垂直，摩擦力$F_2$的方向与斜面平行。若斜面的坡角$\alpha = 30°$，则摩擦力$F_2$与重力$G$方向的夹角$\beta$的度数为（$\quad$）。

A.$125°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$60°$
（第3题）

答案：
1.B　[解析]根据受力分析图，可知∠FAB=90°，
∴∠BFA+∠ABF=90°.
∵α=30°，
∴∠FBA=60°，
∴∠CBD=60°.
∵CE//DF，
∴β+∠CBD=180°，
　　　　　　　　　　　　　　　
∴β=120°.故选B.

2. 传统文化 罗士琳法则 (扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①$3$，$4$，$5$；②$5$，$12$，$13$；③$7$，$24$，$25$；④$9$，$40$，$41$；$·s$。根据上述规律，写出第⑤组勾股数为。

答案： 2.11,60,61　[解析]通过观察得第①组勾股数分别为$2×1 + 1=3$，$2×1^2+2×1=4$，$2×1^2+2×1 + 1=5$；第②组勾股数分别为$2×2 + 1=5$，$2×2^2+2×2=12$，$2×2^2+2×2 + 1=13$；第③组勾股数分别为$2×3 + 1=7$，$2×3^2+2×3=24$，$2×3^2+2×3 + 1=25$；第④组勾股数为$2×4 + 1=9$，$2×4^2+2×4=40$，$2×4^2+2×4 + 1=41$，所以第⑤组勾股数为$2×5 + 1=11$，$2×5^2+2×5=60$，$2×5^2+2×5 + 1=61$.
question:2. 传统文化 罗士琳法则 (扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①$3$，$4$，$5$；②$5$，$12$，$13$；③$7$，$24$，$25$；④$9$，$40$，$41$；$·s$。根据上述规律，写出第⑤组勾股数为

11,60,61

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3. 传统文化 《九章算术》 (泰州泰兴西城中学三模)小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门$100$步有一棵大树，出西门$225$步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为步。

答案：
3.300　[解析]如图，设该城堡的边长为x步，则$BE=BC=\frac{1}{2}x$步.由题意，得$DE=100$步，$AC=225$步.
∵BE//AC，
∴∠DBE=∠BAC.
∵∠DEB=∠BCA=90°，
∴△DBE∽△BAC，
∴$DE:BC=BE:AC$，
∴$100:\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x:225$，
∴$x=300$(舍去负值)，
∴该城堡的边长因为边长是正数，所以要舍去负根为300步.
　　　　　　
question:3. 传统文化 《九章算术》 (泰州泰兴西城中学三模)小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门$100$步有一棵大树，出西门$225$步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为

300

步。

4. 传统文化 割圆术 (河南中考)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”。如图是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点$O$，四边形$ABCD$为矩形，边$CD$与$\odot O$相切于点$E$，连接$BE$，$\angle ABE = 15°$，连接$OE$交$AB$于点$F$。
若$AB = 4$，则图中阴影部分的面积为。

答案：
4.$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$　[解析]
∵边CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴OE⊥AB，
∴$AF=FB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$.由圆周角定理，得∠AOE=2∠ABE=30°，
∴$OA=2AF=4$.在Rt△OAF中，由勾股定理，得$OF=\sqrt{OA^2 - AF^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，则$S_{阴影部分}=S_{扇形AOE}-S_{△AOF}=\frac{30\pi×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$.
question:4. 传统文化 割圆术 (河南中考)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”。如图是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点$O$，四边形$ABCD$为矩形，边$CD$与$\odot O$相切于点$E$，连接$BE$，$\angle ABE = 15°$，连接$OE$交$AB$于点$F$。
若$AB = 4$，则图中阴影部分的面积为

$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$

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5. 跨学科 自由落体 （南通海门区二模）如果把小球从地面以$10\ m/s$的速度竖直上抛，则小球离地面的高度$h$（单位：$m$）与经过的时间$x$（单位：$s$）的关系式为$h = 10x - 4.9x^2$。根据该物理规律，下列对方程$10x - 4.9x^2 = 5$的两根$x_1 \approx 0.88$，$x_2 \approx 1.16$的解释正确的是（$\quad$）。

A.小球两次到达离地面的高度为$5\ m$的位置，其时间间隔约为$0.28\ s$
B.小球经过的时间约$1.16\ s$离地面的高度为$5\ m$，并将继续上升
C.小球离地面的高度为$5\ m$时，经过的时间约为$0.88\ s$
D.小球经过的时间约$1.02\ s$离地面的高度为$5\ m$

答案： 5.A　[解析]方程$10x - 4.9x^2=5$的两根$x_1\approx0.88$，$x_2\approx1.16$分别表示的是上升0.88s时，距离地面为5m，且继续上升；下降过程中，1.16s时，距离地面为5m，且继续下降，两次距离地面5m的时间间隔为$1.16 - 0.88=0.28$(s)，故A正确，符合题意.故选A.

6. (北京中考)如图，$\odot O$是地球的示意图，其中$AB$表示赤道，$CD$，$EF$分别表示北回归线和南回归线，$\angle DOB = \angle FOB = 23.5°$。夏至日正午时，太阳光线$GD$所在直线经过地心$O$，此时点$F$处的太阳高度角$\angle IFH$(即平行于$GD$的光线$HF$与$\odot O$的切线$FI$所成的锐角)的大小为$$$°$。
答案见$P41$

答案：
6.43　[解析]
∵∠DOB=∠FOB=23.5°，
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°.
∵GD//HF，
∴∠OFH=180° - ∠DOF=180° - 47°=133°.
∵FI是⊙O的切线，
∴OF⊥FI，
∴∠OFI=90°，
∴∠IFH=133° - 90°=43°.
question:6. (北京中考)如图，$\odot O$是地球的示意图，其中$AB$表示赤道，$CD$，$EF$分别表示北回归线和南回归线，$\angle DOB = \angle FOB = 23.5°$。夏至日正午时，太阳光线$GD$所在直线经过地心$O$，此时点$F$处的太阳高度角$\angle IFH$(即平行于$GD$的光线$HF$与$\odot O$的切线$FI$所成的锐角)的大小为$$

43

$°$。
答案见$P41$