《2025年实验班中考数学压轴题》

[典例] (恩施一模)如图,在平面直角坐标系$ xOy $中,$ \triangle P_1OA_1 $,$ \triangle P_2A_1A_2 $,$ \triangle P_3A_2A_3 $,…都是等腰直角三角形,其直角顶点$ P_1(3,3) $,$ P_2 $,$ P_3 $,…均在直线$ y = -\frac{1}{3}x + 4 $上.设$ \triangle P_1OA_1 $,$ \triangle P_2A_1A_2 $,$ \triangle P_3A_2A_3 $,…的面积分别为$ S_1 $,$ S_2 $,$ S_3 $,…,依据图形所反映的规律,$ S_{2025} = $$\frac{9}{4^{2024}}$$ $.

[思路分步拆解]
(第一步:先求出$ S_1 $,$ S_2 $,$ S_3 $,$ S_4 $的面积)利用等腰直角三角形的性质和点的坐标求出$ S_1 = $$9$$ $,$ S_2 = $$\frac{9}{4}$$ $,$ S_3 = $$\frac{9}{16}$$ $,$ S_4 = $$\frac{9}{64}$$ $;
(第二步:找出规律,归纳出$ S_n $的关系式)总结其中的规律,发现$ S_n = $$\frac{9}{4^{n-1}}$$ $;
(第三步:代入求出$ S_{2025} $的值)将$ n = 2025 $代入$ S_n $的关系式求值即可.

答案： 思路分步拆解：$9$ $\frac{9}{4}$ $\frac{9}{16}$ $\frac{9}{64}$ $\frac{9}{4^{n-1}}$
$\frac{9}{4^{2024}}$ [解析]$\because \triangle P_{1}OA_{1}$ 是等腰直角三角形，且直角顶点 $P_{1}(3,3)$，$\therefore S_{1}=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$。
$\because \triangle P_{2}A_{1}A_{2}$ 是等腰直角三角形，
$\therefore$ 令点 $P_{2}$ 的坐标为 $(6+a,a)$。
将点 $P_{2}$ 的坐标代入 $y=-\frac{1}{3}x + 4$，
得 $-\frac{1}{3}(6 + a)+4=a$，解得 $a=\frac{3}{2}$，$\therefore S_{2}=\frac{1}{2} × 3 × \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。
同理可得 $S_{3}=\frac{9}{16}$，$S_{4}=\frac{9}{64}$，$·s$，$\therefore S_{n}=\frac{9}{4^{n-1}}$（$n$ 为正整数）。
当 $n = 2025$ 时，$S_{2025}=\frac{9}{4^{2024}}$。

1. (济宁中考)如图,用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形,第二幅图有5个正方形,第三幅图有14个正方形,…,按照此规律,第六幅图中正方形的个数为(B).

A.90
B.91
C.92
D.93

答案： 1. B [解析]由题图中所给图形可知，第一幅图中正方形的个数为 $1 = 1^{2}$；第二幅图中正方形的个数为 $5 = 1^{2}+2^{2}$；第三幅图中正方形的个数为 $14 = 1^{2}+2^{2}+3^{2}$；第四幅图中正方形的个数为 $30 = 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}$；$·s$，所以第 $n$ 幅图中正方形的个数为 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+·s + n^{2}$，当 $n = 6$ 时，$1^{2}+2^{2}+3^{2}+·s+6^{2}=91$，即第六幅图中正方形的个数为 $91$。
故选 B。

2. [新情境 无人机表演] 2025年春节重庆2025架无人机编织盛宴,上演“宠粉”奇观! 如图是某公司设计的无人机表演图案,其中第①个图案有1架无人机,第②个图案有4架无人机,第③个图案有7架无人机,…,按照这一规律,第⑩个图案中无人机的架数是(B).

A.25
B.28
C.31
D.33

答案： 2. B [解析]第①个图案由 $1$ 架无人机组成，第②个图案由 $3 × 2 - 2 = 4$（架）无人机组成，第③个图案由 $3 × 3 - 2 = 7$（架）无人机组成，第④个图案由 $3 × 4 - 2 = 10$（架）无人机组成，$·s$，第 $n$ 个图案由 $(3n - 2)$ 架无人机组成，$\therefore$ 第⑩个图案需要无人机的数量为 $3 × 10 - 2 = 28$。故选 B。