《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 中考新考法 最值问题 (甘肃模拟)如图(1),抛物线$ y=ax^2+3x+c $与坐标轴交于点$ A(0,4) $和点$ B $(点$ B $位于$ x $轴正半轴),点$ C(2,6) $在抛物线上,$ D,E $为线段$ AB $上的动点(点$ D $在点$ E $的左侧),$ DE=\sqrt{2} $,连接$ AC,CD,CE $.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当$ S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ECD} $时,求$ CE $的长;
(3)如图(2),过点$ D $作$ DF\perp x $轴于点$ F $,过点$ E $作$ EG\perp x $轴于点$ G $,连接$ AF,CG $,求四边形$ AFG C $周长的最小值.

答案：
1.
(1)将A(0,4),C(2,6)代入$y = a x ^ {2} + 3 x + c$,
∴$\begin{cases} c = 4 \\ 4 a + 6 + c = 6 \end{cases}$,解得$\begin{cases} a = - 1 \\ c = 4 \end{cases}$,
∴$y = - x ^ {2} + 3 x + 4$.
(2)当$y = 0$时,$- x ^ {2} + 3 x + 4 = 0$,解得$x = 4$或$x = - 1$,
∴B(4,0),
∴直线AB的解析式为$y = - x + 4$.如图
(1),过点E作EP⊥y轴于点P,过点D作DQ⊥PE于点Q.
∵OA=OB=4,
∴∠ABO=45°.
∵PE//BO,
∴∠AEP=∠ABO=45°.
∵$DE = \sqrt {2}$,
∴DQ=QE=1,设E(m,-m+4),则D(m - 1,-m+5).
∵$S$${ \triangle A C D } = S$${ \triangle E C D }$,
∴D是AE的中点,
∴$m - 1 = \frac {m} {2}$,解得$m = 2$,
∴E(2,2),
∴CE=4.

由中点坐标公式求解
(3)如图
(2),过点E作EM⊥DF于点M.
∵$DE = \sqrt {2}$,∠DEM=45°,
∴DM=ME=1.
∵DF⊥OB,EG⊥OB,
∴四边形MFGE是矩形,
∴ME=FG=1.作点A关于x轴的对称点A',连接FA',则AF=A'F,过A'作A'G'//OB,且A'G'=FG,则四边形FA'G'G是平行四边形,
∴GG'=FA',连接CG',当F,C,G'共线时,AF+CG的值最小,此时四边形AFGC的周长最小.
∵A(0,4),
∴A'(0,-4).
∵FG=1,
∴A'G'=1,
∴G'(1,-4),
∴$CG' = \sqrt {101}$,
∴四边形AFGC的周长$= AC + FG + AF + CG \geq AC + FG + CG' = 2 \sqrt {2} + 1 + \sqrt {101}$,
∴四边形AFGC周长的最小值为$2 \sqrt {2} + 1 + \sqrt {101}$.