《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 中考新考法 存在性问题 (西宁十一中一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$ y_1 = -x^2 + bx + c $与$ x $轴交于点$ B $,$ A(-3,0) $,与$ y $轴交于点$ C(0,3) $.
(1)求直线$ AC $和抛物线的解析式.
(2)若$ M $是抛物线对称轴上的一点,是否存在点$ M $,使得以$ M $,$ A $,$ C $三点为顶点的三角形是以$ AM $为腰的等腰三角形? 若存在,请求出点$ M $的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)在平面直角坐标系中，抛物线$y_{1}=-x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$B$，$A(-3,0)$，与$y$轴交于点$C(0,3)$。将点$A$，点$C$的坐标分别代入，得$\begin{cases}-9 - 3b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -2\\c = 3\end{cases}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y = -x^{2}-2x + 3$。
设直线$AC$的解析式为$y = kx + m$，将点$A$，$C$的坐标分别代入，得$\begin{cases}-3k + m = 0\\m = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\m = 3\end{cases}$。
$\therefore$直线$AC$的解析式为$y = x + 3$。
(2)存在点$M$，使得以$M$，$A$，$C$三点为顶点的三角形是以$AM$为腰的等腰三角形.理由如下:
$\because y = -x^{2}-2x + 3$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-2}{2× (-1)}=-1$。
设$M(-1,m)$，$\because A(-3,0)$，
$\therefore AC^{2}=3^{2}+3^{2}=18$，$AM^{2}=(-1 + 3)^{2}+(m - 0)^{2}=m^{2}+4$，$CM^{2}=(-1 - 0)^{2}+(m - 3)^{2}=m^{2}-6m + 10$。
当$AC = AM$时，$m^{2}+4 = 18$，解得$m = \pm \sqrt{14}$，
$\therefore M(-1,\sqrt{14})$或$M(-1,-\sqrt{14})$；
当$AM = CM$时，$m^{2}+4 = m^{2}-6m + 10$，解得$m = 1$，
$\therefore M(-1,1)$。
综上所述，点$M$的坐标为$(-1,\sqrt{14})$或$(-1,-\sqrt{14})$或$(-1,1)$。