《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，在平面直角坐标系中，直线$ y = 2x + 4 $与$ x $轴、$ y $轴分别交于$ A $，$ B $两点，以$ AB $为边在第二象限作正方形$ ABCD $，点$ D $在双曲线$ y = \frac{k}{x} $上，将正方形$ ABCD $沿$ x $轴正方向平移$ a $个单位长度后，点$ C $恰好落在此双曲线上，则$ a $的值是(B)。

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
思路分步拆解
(第一步：求$ A $，$ B $的坐标)过点$ C $作$ CE \perp y $轴于点$ E $，交双曲线于点$ G $。过点$ D $作$ DF \perp x $轴于点$ F $，易证$ \triangle OAB \cong \triangle $FDA$ \cong \triangle $EBC$ $，求得$ A $，$ B $的坐标；
(第二步：求$ C $，$ D $的坐标)根据全等三角形的性质求得$ C $，$ D $的坐标；
(第三步：求出点$ G $的坐标，进而求得$ a $的值)利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点$ G $的坐标为$ $(−2,6)$ $，$ a $的值即可求出。

答案： 典例　　思路分步拆解:FDA　EBC　(−2,6)
B [解析]如图，过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，在y = 2x + 4中，当x = 0时，y = 4，即点B的坐标是(0,4)，当y = 0时，2x + 4 = 0，解得x = −2，即点A的坐标是(−2,0)，则OB = 4，OA = 2。
∵∠BAD = 90°，
∴∠BAO + ∠DAF = 90°。在Rt△ABO中，∠BAO + ∠OBA = 90°，
∴∠DAF = ∠OBA。在△OAB和△FDA中，$\begin{cases} ∠BOA = ∠AFD \\ ∠OBA = ∠FAD \\ AB = DA \end{cases}$，
∴△OAB≌△FDA，同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，
∴AF = OB = EC = 4，DF = OA = BE = 2，
∴点D的坐标是(−6,2)，点C的坐标是(−4,6)。将点D的坐标代入$y = \frac{k}{x}$，得k = −12，则函数的解析式是$y = - \frac{12}{x}$。
∵OE = 6，
∴C的纵坐标是6，把y = 6代入$y = - \frac{12}{x}$，得x = −2，则点G的坐标是(−2,6)，
∴CG = 4 - 2 = 2，
∴a = 2。故选B。