《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (济南济阳区二模)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的$2$倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如$A(a, 2a)$就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数$y = (x - 1)^2 + 2$就是“叠梦二次函数”。若“叠梦二次函数”$y = \frac{1}{4}x^2 + bx + c$的图象过点$(-2, 8)$，且顶点在第一象限。过点$M(5, 4)$，$N(-1, n)$的线段$MN$与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，$n$的取值范围为(B)。
A.$n = 4$
B.$n ＞ \frac{25}{4}$或$n = 4$
C.$n \geq \frac{25}{4}$或$n = 4$
D.$n ＞ \frac{17}{4}$或$n = 4$
思路分步拆解
(第一步：根据“叠梦二次函数”的定义求函数解析式)依据题意，设“叠梦二次函数”的解析式为$y = \frac{1}{4}(x - h)^2 + 2h$，且图象过点$(-2, 8)$，确定“叠梦二次函数”的解析式为$y = $$\frac{1}{4}(x-2)^2+4$；
(第二步：根据点$N$的坐标特征确定临界点$C$的坐标)根据点$N$的坐标特征，可知点$N$在直线$x = -1$上运动，设直线$x = -1$与“叠梦二次函数”$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4$交于点$C$，将$x = -1$代入即可确定临界点$C$的坐标为$\left(-1,\frac{25}{4}\right)$；
(第三步：对$N$的位置进行分类讨论即可得解)根据函数图象及点$N$的位置分点$N$，$M$与抛物线顶点共线和点$N$在点$C$上方两种情况讨论即可。

答案：
典例思路分步拆解：$\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4$　$\left(-1,\frac{25}{4}\right)$
B　[解析]由题意，设“叠梦二次函数”的解析式为$y = \frac{1}{4}(x - h)^2 + 2h$，$\therefore 8 = \frac{1}{4}(-2 - h)^2 + 2h$，$\therefore h_1 = 2$，$h_2 = -14$。$\because$顶点在第一象限，$\therefore h = 2$，$\therefore y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4$。$\because N(-1,n)$，$\therefore$点$N$在直线$x = -1$上运动，设直线$x = -1$与“叠梦二次函数”$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4$交于点$C$，如图所示，$\therefore$当$x = -1$时，$y = \frac{1}{4}(-1 - 2)^2 + 4 = \frac{25}{4}$，$\therefore C\left(-1,\frac{25}{4}\right)$。$\because$二次函数$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4$的顶点为$(2,4)$，且$M(5,4)$，$\therefore$当点$N$的坐标为$(-1,4)$时，此时点$N$，$M$与抛物线顶点共线且与二次函数$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4$的图象只有一个交点，即$n = 4$；当点$N$在点$C$上方时，线段$MN$与抛物线有且只有一个交点，即$n ＞ \frac{25}{4}$。$\therefore$当线段$MN$与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，$n$的取值范围为$n ＞ \frac{25}{4}$或$n = 4$。故选B。