《2025年实验班中考数学压轴题》

[典例] (徐州模拟)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$BC$上，连接$AD$，以$AD$为直角边向右作$Rt\triangle ADE$，$\angle ADE = 90°$，$\angle BAC + 2\angle DEA = 180°$，$AE$与$BC$交于点$F$。
(1)如图(1)，若$\angle ABC = \angle ACB = 45°$，$\angle ADF = \angle AFD$，求$\angle CAD$的度数；
(2)如图(2)，过点$D$作$DM \perp AC$于点$M$，点$N$为边$AB$上一点，过点$N$作$NP \perp AB$交$AE$于点$P$，连接$DP$，若$AM = AN$，求证：$DM + PN = DP$；
(3)如图(3)，$G$为边$BC$上一点，$D$为$CG$的中点，连接$BE$，$EG$，若$AB = AC$，求证：$BE = EG$。

思路分步拆解
(1)(第一步：由已知求$\angle BAC$的度数)$\angle BAC = 180° - \angle ABC -$∠ACB；
(第二步：求$\angle DEA$，可得$\angle DAE$)在$Rt\triangle ADE$中，可得$\angle DAE =$45°；
(第三步：求$\angle CAD$)利用三角形内角和求$\angle ADF =$67.5°，即可求$\angle CAD$的度数。
(2)(第一步：作辅助线构造全等三角形)$\triangle ANP \cong \triangle AMH$，可得$AP =$AH；
(第二步：证明$DM + PN = DP$)证明$\triangle ADP \cong \triangle ADH$，可得$DP =$DH，即可得证。
(3)(第一步：作辅助线构造全等三角形)由已知得$\angle BAC =$2∠DAE，利用$SAS$证$\triangle ADE \cong \triangle ADR$，可得$AR =$AE，$\angle DAR =$∠DAE；
(第二步：证明$\triangle CDR \cong \triangle GDE$，$\triangle ACR \cong \triangle ABE$，可得结论)先证$\triangle CDR \cong \triangle GDE$，可得$CR = GE$，由$\angle DAR = \angle DAC +$∠BAE，再证$\triangle ACR \cong \triangle ABE$，可得$BE =$CR，即可得到$BE = EG$。

答案：
典例思路分步拆解:
(1)∠ACB　　45°　　67.5°　　
(2)AH DH　
(3)2∠DAE　AE　∠DAE　∠BAE　CR
解:
(1)
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=90°.
∵∠BAC+2∠DEA=180°，
∴∠DEA=45°.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
则∠DAE=90°−∠DEA=45°，
∴∠ADF=∠AFD=$\frac{180° - ∠DAE}{2}$=67.5°，
∴∠CAD=∠ADF−∠ACB=22.5°.
(2)如图
(1)，延长DM至点H，使得MH=NP，连接AH.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
则∠DAE+∠DEA=90°.
∵∠BAC+2∠DEA=180°，
∴∠BAC+2(90°−∠DAE)=180°，
则∠BAC=2∠DAE.
∵DM⊥AC，NP⊥AB，
∴∠AMH=∠ANP=90°.
在△ANP和△AMH中，$\begin{cases} ∠AMH=∠ANP,\\ MH=NP,\end{cases}$
∴△ANP≌△AMH(SAS)，
∴AH=AP，∠PAN=∠HAM.
∵∠BAC=2∠DAE=∠DAE+(∠DAM+∠BAE)，
∴∠DAE=∠DAM+∠BAE=∠DAM+∠HAM=∠DAH.
在△ADH和△ADP中，$\begin{cases} AH=AP,\\ ∠DAH=∠DAP,\\ AD=AD,\end{cases}$
∴△ADH≌△ADP(SAS)，
∴DP=DH.
∵DH=DM+MH，MH=NP，
∴DM+PN=DP.

(3)如图
(2)，延长ED至点R，使得DR=DE，连接AR，CR.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，则∠DAE+∠DEA=90°，且∠ADR=90°.
∵∠BAC+2∠DEA=180°，
∴∠BAC+2(90° - ∠DAE)=180°，则∠BAC=2∠DAE.
在△ADE和△ADR中，$\begin{cases} AD=AD,\\ ∠ADE=∠ADR,\\ DE=DR,\end{cases}$
∴△ADE≌△ADR(SAS)，
∴AR=AE，∠DAR=∠DAE.
∵D为CG的中点，
∴DC=DG.
在△CDR和△GDE中，$\begin{cases} DR=DE,\\ ∠CDR=∠GDE,\\ CD=GD,\end{cases}$
∴△CDR≌△GDE(SAS)，
∴CR=EG.
∵∠BAC=2∠DAE=∠DAE+(∠DAC+∠BAE)，
∴∠DAR=∠DAE=∠DAC+∠BAE.
∵∠DAR=∠DAC+∠CAR，
∴∠BAE=∠CAR.
在△ACR和△ABE中，$\begin{cases} AR=AE,\\ ∠CAR=∠BAE,\\ AC=AB,\end{cases}$
∴△ACR≌△ABE(SAS)，
∴BE=CR.
∵CR=EG，
∴BE=EG.