《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，$\angle AOB = 45°$，点$M,N$分别在射线$OA,OB$上，$MN = 9$，点$P$是直线$MN$上的动点，点$P$关于$OA$对称的点为$P_1$，点$P$关于$OB$对称的点为$P_2$，当点$P$在直线$MN$上运动时，若$\triangle OP_1P_2$的面积最小值为$18$，则$\triangle OMN$的面积为27。
思路分步拆解
(第一步：表示出$\triangle OP_1P_2$的面积)连接$OP$，过点$O$作$OH \perp MN$于点$H$，根据轴对称的性质可得$\triangle P_1OP_2$是等腰直角三角形，$S_{\triangle P_1OP_2} = \frac{1}{2}OP_1 · OP_2 = $$\frac{1}{2}OP^{2}$$$；
(第二步：求出$OP$的最小值)根据垂线段最短可得，当$OP \perp MN$时，$OP$值最小，即当点$P,H$重合时，$\triangle OP_1P_2$的面积最小，求出$OP = $6$ = OH$(负值舍去)；
(第三步：直接利用面积公式求解)根据三角形面积的公式计算即可求解。

答案：
考向2　动态情境
典例思路分步拆解:等腰直角　$\frac{1}{2}OP^{2}$　6
27　[解析]如图，连接$OP$，过点$O$作$OH⊥MN$于点$H$．
　　　　　　
$\because$点$P$关于$OA$对称的点为$P_1$，点$P$关于$OB$对称的点为$P_2$，$\therefore OP_1=OP$，$OP_2=OP$，$\angle P_1OA=\angle POA$，$\angle P_2OB=\angle POB$，
$\therefore\angle P_1OP=2\angle POA$，$\angle P_2OP=2\angle POB$，
$\therefore\angle P_1OP_2=\angle P_1OP+\angle P_2OP=2\angle POA+2\angle POB=2(\angle POA+\angle POB)=2\angle MON=90^{\circ}$，$OP_1=OP_2$，
$\therefore\triangle P_1OP_2$是等腰直角三角形，
$\therefore S_{P_1OP_2}=\frac{1}{2}OP_1· OP_2=\frac{1}{2}OP^{2}$．
根据垂线段最短，可得当$OP⊥MN$时，$OP$值最小，即当点$P$，$H$重合时，$\triangle OP_1P_2$的面积最小．
$\because\triangle OP_1P_2$的面积最小值为$18$，$\therefore\frac{1}{2}OP^{2}=18$，
解得$OP=6=OH$(负值舍去)，
$\therefore\triangle OMN$的面积为$\frac{1}{2}MN· OH=\frac{1}{2}×9×6=27$．

1. 如图(1)，在正方形$ABCD$中，$E$是边$AD$的中点，动点$P$从点$A$出发，沿着$A \to B \to C$的路径以$1\ cm/s$的速度运动到点$C$，设点$P$的运动时间为$x(s)$，$\triangle PEC$的面积为$y(cm^2)$，$y$与$x$的函数图象如图(2)所示，则$\triangle PEC$面积的最大值为(B)。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 1. B [解析]由图象可知，点$P$从点$A$运动到点$C$所用时间为$4s$．$\because$运动速度为$1cm/s$，
　$\therefore$正方形$ABCD$的边长为$4÷1÷2=2(cm)$．
　$\because E$是边$AD$的中点，$\therefore DE=1cm$，
　$\therefore$在$Rt\triangle CDE$中，由勾股定理，得$EC=\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}(cm)$．
　当点$P$在$AB$上运动时，$\triangle PEC$的底边$EC$不变，边$EC$上的高越来越大，即$y$随$x$的增大而增大；
　当点$P$在$BC$上运动时，$\triangle PEC$的高为$2cm$，底边$CP$越来越小，即$y$随$x$的增大而减小；
　$\therefore$当点$P$运动到点$B$时，$\triangle PEC$的面积最大，
　$\triangle PEC$面积的最大值为$\frac{1}{2}×2×2=2$．故选B.

2. (西安长安区一模)如图，菱形$ABCD$的面积为$36$，$E$是$AB$的中点，$F$是$BC$上的动点。若$\triangle BEF$的面积为$6$，则$\triangle DEF$的面积为15。

答案：
2. 15 [解析]如图，连接$BD$，$EC$．
　　　　　　　　　　　　　　
$\because E$是$AB$的中点，菱形$ABCD$的面积为$36$，
$\therefore S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{4}S_{菱形ABCD}=9$，
同理可得$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle AED}=9$．
$\because S_{\triangle BEF}=6$，
$\therefore S_{\triangle BEF}=\frac{2}{3}S_{\triangle BEC}$，
$\therefore FC=\frac{1}{3}BC$，
$\therefore S_{\triangle DFC}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}=\frac{1}{6}S_{菱形ABCD}=6$，
$\therefore S_{\triangle DEF}=S_{菱形ABCD}-S_{\triangle AED}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle DFC}=36 - 9 - 6 - 6=15$．

3. (苏州姑苏区二模改编)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°$，$AB = 6$，$BC = 10$，$D$为斜边$BC$上一任意点，连接$AD$，将点$B$关于直线$AD$作轴对称变换得到点$E$，连接$AE,BE$，则$\triangle ABE$面积的最大值为18。

答案：
3. 18 [解析]$\because$点$B$与点$E$关于直线$AD$对称，$\therefore AE=AB=6$，则点$E$在以点$A$为圆心，半径为$6$的圆上．如图，
当点$E$在$AC$上时，$\triangle ABE$的边$AB$上的高取得最大值为$6$，$\therefore\triangle ABE$面积的最大值为$\frac{1}{2}×6×6=18$．