《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (辽宁中考)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 16$,$BC = 12$,$CA = 10$,$\angle ABC$的平分线$BP$与$AC$相交于点$D$. 在线段$AD$上取一点$K$,以点$C$为圆心,$CK$长为半径作弧,与射线$BP$相交于点$M$和点$N$,再分别以点$M$和点$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧相交于点$Q$,作射线$CQ$,与$AB$相交于点$E$,连接$DE$. 则$\triangle DAE$的周长为(B).
A.12
B.14
C.16
D.18

思路分步拆解
(第一步:得到$CE$和$BD$的位置关系)从作图步骤中获取相关条件信息:$BP$平分$\angle ABC$,$CE$⊥$\boldsymbol{BD}$;
(第二步:求出$AE$的长)设$CE$,$BD$交于点$O$,即可证得$\triangle BOC\cong\triangle$BOE,$\boldsymbol{得到OC = }$OE,$\boldsymbol{BC = }$BE,$\boldsymbol{进而求出AE的长为}$4;
(第三步:转化线段)根据作图可知得到$BD$垂直平分CE,$\boldsymbol{得到DE = }$CD,$\boldsymbol{进而推出\triangle DAE的周长等于AE + }$AC$\boldsymbol{的长,从而解决问题.}$

答案： B[解析]由作图可知,CE⊥BD,设CE,BD交于点O,则∠BOC=∠BOE=90°.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO.
在△BOC和△BOE中,$\begin{cases}∠BOC=∠BOE,\\OB=OB,\\∠CBO=∠EBO,\end{cases}$
∴△BOC≌△BOE(ASA),
∴OC=OE,BC=BE=12,
∴BD垂直平分CE,AE=AB−BE=4,
∴DE=CD,
∴△ADE的周长为AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=14.故选B.

1. (泰州二模)已知:如图,四边形$ABCD$是平行四边形,点$E$为$AD$上的一点(不与点$A$,$D$重合),连接$CE$.
求作:点$F$,使得点$F$在$BC$上,且$AF// CE$.
甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下:
甲:以点$C$为圆心,$AE$的长为半径画弧,交$BC$于点$F$,连接$AF$;
乙:以点$A$为圆心,$CE$的长为半径画弧,交$BC$于点$F$,连接$AF$;
丙:以点$B$为圆心,$DE$的长为半径画弧,交$BC$于点$F$,连接$AF$.
上述三名同学的作法一定正确的是(C).

A.甲、乙
B.乙、丙
C.甲、丙
D.甲、乙、丙

答案： 1.C[解析]由甲同学的尺规作图方法可得CF=AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴四边形AECF 为平行四边形,
∴AF//CE，故甲同学的作法正确，符合题意;由乙同学的尺规作图方法可得AF=CE,不能得出AF//CE，故乙同学的作法不正确，不符合题意;由丙同学的尺规作图方法可得BF=DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC,
∴AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形,
∴AF//CE，故丙同学的作法正确，符合题意.综上所述，三名同学的作法一定正确的是甲、丙.故选C.