《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 如图,在平面直角坐标系$ xOy $中,二次函数$ y=ax^2+bx-5(a\neq0) $的图象与$ x $轴,$ y $轴分别交于点$ A,B $与$ C $,连接$ AC $,点$ P $为直线$ AC $下方抛物线上一点.
(1)若点$ A,B $的坐标分别为$ (-5,0) $,(1,0).
①求二次函数的解析式;
②当$ \triangle ACP $与$ \triangle ABC $的面积相等时,求点$ P $的坐标.
(2)设点$ A,C,P $的横坐标分别为$ x_A,x_C,x_P $,当$ \triangle ACP $的面积最大时,求证:$ x_A+x_C=2x_P $.

答案：
2.
(1)①把(-5,0),(1,0)代入二次函数$y = a x ^ {2} + b x - 5$,
得$\begin{cases} 25 a - 5 b - 5 = 0 \\ a + b - 5 = 0 \end{cases}$,解得$\begin{cases} a = 1 \\ b = 4 \end{cases}$.
故二次函数的解析式为$y = x ^ {2} + 4 x - 5$.
②
∵A(-5,0),C(0,-5),如图,由待定系数法可知,直线AC的解析式为$y = - x - 5$,过点B作直线AC的平行线l,
设直线l的解析式为$y = - x + b$,
代入点B(1,0),得$b = 1$.将直线AC向下平移$1 - ( - 5 ) = 6$个单位得到直线$l'$,则直线$l'$的解析式为$y = - x - 11$,联立$y = - x - 11$与$y = x ^ {2} + 4 x - 5$,整理可得$x ^ {2} + 5 x + 6 = 0$,解得$x = - 2$或$- 3$.故点P的坐标为$(- 2 , - 9 )$或$(- 3 , - 8 )$.

(2)设A(m,$a m ^ {2} + b m - 5$),C(0,-5),则直线AC的斜率为$k$_________${ A C } = \frac { y$_________${ A } - y$_________${ C } } { x$_________${ A } - x$_________${ C } } = \frac { a m ^ {2} + b m } { m } = a m + b$,当过点P的直线p与AC平行且与抛物线有且只有一个交点时,此时△ACP的面积最大.
设直线p的解析式为$y = ( a m + b ) x + b'$,
联立$\begin{cases} y = ( a m + b ) x + b' \\ y = a x ^ {2} + b x - 5 \end{cases}$,
整理可得$a x ^ {2} - a m x - 5 - b' = 0$①.令$\Delta = 0$,则$a ^ {2} m ^ {2} - 4 a ( - 5 - b ' ) = 0$,解得$b' = \frac { - 20 a - a ^ {2} m ^ {2} } { 4 a }$,则①式化为$a x ^ {2} - a m x - 5 - \frac { - 20 a - a ^ {2} m ^ {2} } { 4 a } = 0$,进一步整理得$4 a ^ {2} x ^ {2} - 4 a ^ {2} m x + a ^ {2} m ^ {2} = 0$,由于$a \neq 0$,则$4 x ^ {2} - 4 m x + m ^ {2} = 0$,即$( 2 x - m ) ^ {2} = 0$,解得$x = \frac {m} {2}$,即此时点P的横坐标为$\frac {m} {2}$,即$x$_________${ P } = \frac { x$_________${ A } + x$_________${ C } } { 2 }$.故$x$_________${ A } + x$_________${ C } = 2 x$_________${ P }$.

3. 如图,已知抛物线$ y=ax^2+bx+c $的顶点为$ D(-1,4) $,抛物线与$ x $轴交于$ A,B $两点,与$ y $轴交于点$ C $.
(1)若$ AB=4 $.
①求抛物线的解析式;
②$ E $为抛物线上位于点$ A $左侧的一点,$ F $为$ E $关于直线$ x=-1 $的对称点.若$ S_{\triangle FAC}=\frac{9}{5}S_{\triangle EAC} $,求点$ E $的坐标.
(2)过点$ O $作$ CD $的平行线与抛物线交于$ M,N $两点,直线$ DM,DN $分别与$ y $轴交于$ P,Q $两点,若$ OP· OQ=8 $,求$ a $的值.

答案：
3.
(1)①由题意,得$y = a ( x + 1 ) ^ {2} + 4 = a x ^ {2} + 2 a x + a + 4$.
∵AB=4,抛物线的对称轴为直线$x = - 1$,则点A,B的坐标分别为$(- 3 , 0 )$,$( 1 , 0 )$,将点D的坐标代入上式,得$4 = a ( - 1 + 3 ) ( - 1 - 1 )$,得$a = - 1$,
则抛物线的解析式为$y = - x ^ {2} - 2 x + 3$.
②由点A,C的坐标,得直线AC的解析式为$y = x + 3$,设点$E ( m , - m ^ {2} - 2 m + 3 )$,则点$F ( - 2 - m , - m ^ {2} - 2 m + 3 )$.过点E作EM//AC交y轴于点M,作FN//AC交y轴于点N,如图
(1),
则直线EM的解析式为$y = x - m - m ^ {2} - 2 m + 3$,则点$M ( 0 , - m ^ {2} - 3 m + 3 )$,同理,可得点$N ( 0 , - m ^ {2} - m + 5 )$.
∵$S$_________${ \triangle F A C } = \frac {9} {5} S$_________${ \triangle E A C }$,则$\frac {5} {9} C N = C M$,
由三角形面积公式和平行线分线段成比例定理可得即$5 ( 3 + m ^ {2} + m - 5 ) = 9 ( 3 + m ^ {2} + 3 m - 3 )$,
解得$m = - \frac {1} {2} $(舍去)或$- 5$.即点E(-5,-12).
(2)由题意,得$y = a ( x + 1 ) ^ {2} + 4 = a x ^ {2} + 2 a x + a + 4$,设点$M ( m , a m ^ {2} + 2 a m + a + 4 )$,点$N ( n , a n ^ {2} + 2 a n + a + 4 )$,则$m + n = - 1$,$m n = \frac { a + 4 } { a }$,由点M,D的坐标,得直线DM的解析式为$y = ( a m + a ) ( x + 1 ) + 4$,则点$P ( 0 , a m + a + 4 )$,同理可得,点$Q ( 0 , a n + a + 4 )$,如图
(2).
∵$OP · OQ = 8$,即$( a m + a + 4 ) · ( a n + a + 4 ) = 8$,即$a ^ {2} m n + a ( m + n ) ( a + 4 ) + ( a + 4 ) ^ {2} = 8$,即$( a + 4 ) ^ {2} = 8$,解得$a = - 4 \pm 2 \sqrt {2} $.