《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，四边形$ ABCD $是边长为$ 4 $的正方形，圆$ O $是正方形的内切圆，$ P $为圆上一点，连接$ PA $，$ PB $，则$ \sqrt{2}PA + PB $的最小值为2√5。

思路分步拆解
(第一步：取关键点，作辅助线构建“阿氏圆”模型)取$ OB $的中点$ I $，
连接$ PI $，先求出圆半径及相关线段长度，确定$ OP $，$ OB $，$ OI $的值，证明$ \triangle BOP \sim \triangle $POI$ $；
(第二步：转化为求$ PA $的最小值)根据相似三角形的性质得出
$ PI = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$PB $，将$ \sqrt{2}PA + PB $转化为$ \sqrt{2}(PA + PI) $；
(第三步：作辅助线将$ BE $长度转化)依据两点之间线段最短，当$ A $，
$ P $，$ I $共线$ $时，$ PA + PI $最小，作$ $IE$ \perp AB $于点$ E $，则$ BE = $IE$ $，求出$ AI $长度，即$ PA + PI $最小值，计算即可得出
$ \sqrt{2}PA + PB $的最小值。

答案：
典例思路分步拆解:POI　$\frac{\sqrt{2}}{2}$　共线　IE　IE
2√5　[解析]设⊙O半径为r,由条件可知,OB=$\sqrt{2}$r=2√2,如图，取OB的中点I,连接PI,
∴OI=IB=√2.
∵$\frac{OP}{OI}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=√2,$\frac{OB}{OP}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=√2,
∴$\frac{OP}{OI}$=$\frac{OB}{OP}$,∠O是公共角，
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△BOP∽△POI,
∴$\frac{PI}{BP}$=$\frac{OI}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴PI=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB,
∴AP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=AP+PI,
∴当A,P,I三点共线时，AP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB最小.作IE⊥AB于点E,由条件可知，
AE=AB−BE=3,
∴AI=$\sqrt{3²+1²}$=$\sqrt{10}$,
∴AP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB 的最小值=AI=$\sqrt{10}$.
∵$\sqrt{2}$PA+PB=$\sqrt{2}$(PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB),$\sqrt{2}$PA+PB的最小值是√2AI=√2×$\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$.

1.(泰安泰山区二模)如图，在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90° $，$ CB = 3\sqrt{2} $，$ AC = 9 $，以$ C $为圆心，$ 3 $为半径作$ \odot C $，$ P $为$ \odot C $上一动点，连接$ AP $，$ BP $，则$ \frac{1}{3}AP + BP $的最小值为(C)。

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ \sqrt{19} $
D.$ 4 $

答案：
1.C[解析]如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.
∵PC=3,CM=1,AC=9,
∴PC²=CM·CA,即$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CM}{CP}$.
∵∠PCM=∠ACP,
∴△PCM∽△ACP,
∴$\frac{PM}{AP}$=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{1}{3}$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PM=$\frac{1}{3}$AP,
∴$\frac{1}{3}$AP+BP=PM+PB ≥BM.
∵在Rt△BCM中,∠BCM=90°,
CM=1,BC=3$\sqrt{2}$,
∴BM=$\sqrt{1²+(3\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{19}$,
∴$\frac{1}{3}$AP+BP≥$\sqrt{19}$,
∴$\frac{1}{3}$AP+BP的最小值为$\sqrt{19}$.故选C.