《2025年实验班中考数学压轴题》

1. (常州前黄实验中学模拟)如图，抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 2x - 6 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧)，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，连接 $ AC $，$ BC $。
(1) 点 $ B $ 的坐标是 $ $(2,0)$ $，点 $ C $ 的坐标是 $ $(0,-6)$ $。
(2) 点 $ P $ 是直线 $ AC $ 下方抛物线上的一个动点，过点 $ P $ 作 $ BC $ 的平行线 $ l $ 交线段 $ AC $ 于点 $ D $。
① 试探究：在直线 $ l $ 上是否存在点 $ E $，使得以点 $ D $，$ C $，$ B $，$ E $ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $ E $ 的坐标，若不存在，请说明理由；
② 设抛物线的对称轴与直线 $ l $ 交于点 $ M $，与直线 $ AC $ 交于点 $ N $。当 $ S_{\triangle DMN} = S_{\triangle AOC} $ 时，请求出 $ DM $ 的长。

答案：

(1)(2,0)　(0, - 6) [解析]当y = 0时，$\frac{1}{2}$x² + 2x - 6 = 0，解得x₁ = - 6，x₂ = 2，
∴A(- 6,0)，B(2,0)。当x = 0时，y = - 6，
∴C(0, - 6)。
(2)①存在。理由如下：
∵A(- 6,0)，C(0, - 6)，
∴直线AC的函数解析式为y = - x - 6。
设点D的坐标为(m, - m - 6)，其中 - 6 ＜ m ＜ 0。
∵B(2,0)，C(0, - 6)，
∴BD² = (m - 2)² + (- m - 6)²，
BC² = 2² + 6² = 40，DC² = m² + (- m - 6 + 6)² = 2m²。
∵DE//BC，
∴当DE = BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：
先找到平行四边形，再令平行四边形为菱形
如图
(1)，当BD = BC时，四边形BDEC为菱形，
∴BD² = BC²，
∴(m - 2)² + (m + 6)² = 40，
解得m₁ = - 4，m₂ = 0(舍)，
∴点D的坐标为(- 4, - 2)。
∵DE//BC且DE = BC，
∴点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(- 6, - 8)；

如图
(2)，当CD = CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD² = CB²，
∴2m² = 40，
解得m₁ = - 2$\sqrt{5}$，m₂ = 2$\sqrt{5}$(舍去)，
∴点D的坐标为(- 2$\sqrt{5}$,2$\sqrt{5}$ - 6)。
∵DE//BC且DE = BC，
∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(2 - 2$\sqrt{5}$,2$\sqrt{5}$)。

综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(- 6, - 8)或(2 - 2$\sqrt{5}$,2$\sqrt{5}$)。
②如图
(3)，设点D的坐标为(m, - m - 6)，其中 - 6 ＜ m ＜ 0。
∵A(- 6,0)，B(2,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x = - 2。
∵B(2,0)，C(0, - 6)，
∴直线BC的函数解析式为y = 3x - 6。
∵直线l//BC，
∴设直线l的解析式为y = 3x + b。
∵点D的坐标为(m, - m - 6)，
∴b = - 4m - 6，
∴M(- 2, - 4m - 12)。
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N，
∴N(- 2, - 4)，
∴MN = - 4m - 12 + 4 = - 4m - 8。
∵S△DMN = S△AOC，
∴$\frac{1}{2}$×(- 4m - 8)×(- 2 - m) = $\frac{1}{2}$×6×6，
整理，得m² + 4m - 5 = 0，解得m₁ = - 5，m₂ = 1(舍去)，
∴点D的坐标为(- 5, - 1)，
∴点M的坐标为(- 2,8)，
∴DM = $\sqrt{(- 2 + 5)² + (8 + 1)²}$ = 3$\sqrt{10}$

2. 如图，二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象交 $ x $ 轴于点 $ A $，$ B $，交 $ y $ 轴于点 $ C $，点 $ B $ 的坐标为 $ (1, 0) $，对称轴是直线 $ x = -1 $，点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一动点，$ PM \perp x $ 轴，交直线 $ AC $ 于点 $ M $，交抛物线于点 $ N $。
(1) 求这个二次函数的解析式。
(2) 若点 $ P $ 在线段 $ AO $ 上运动(点 $ P $ 与点 $ A $，点 $ O $ 不重合)，求四边形 $ ABCN $ 面积的最大值，并求出此时点 $ P $ 的坐标。
(3) 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上运动，则在 $ y $ 轴上是否存在点 $ Q $，使以 $ M $，$ N $，$ C $，$ Q $ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：

(1)
∵抛物线对称轴是直线x = - 1，点B的坐标为(1,0)，
∴点A的坐标为(- 3,0)，
∴二次函数解析式为y = (x - 1)(x + 3) = x² + 2x - 3。
(2)如图，连接ON。
设P(m,0)，则N(m,m² + 2m - 3)。
在y = x² + 2x - 3中，
令x = 0，得y = - 3，
∴C(0, - 3)，
∴OC = 3，
∴S四边形ABCN = S△AON + S△BOC + S△CON = $\frac{1}{2}$×3×(- m² - 2m + 3) + $\frac{1}{2}$×1×3 + $\frac{1}{2}$×3×(- m) = - $\frac{3}{2}$m² - $\frac{9}{2}$m + 6 = - $\frac{3}{2}$(m + $\frac{3}{2}$)² + $\frac{75}{8}$。
将不规则图形拆分为规则图形来求面积
∵ - $\frac{3}{2}$ ＜ 0，
∴当m = - $\frac{3}{2}$时，S四边形ABCN取最大值$\frac{75}{8}$，此时P(- $\frac{3}{2}$,0)，
∴四边形ABCN面积的最大值是$\frac{75}{8}$，此时点P的坐标为(- $\frac{3}{2}$,0)。

(3)在y轴上存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形是菱形。理由如下：
由A(- 3,0)，C(0, - 3)，得直线AC的解析式为y = - x - 3。
设Q(0,t)，P(n,0)，则M(n, - n - 3)，N(n,n² + 2n - 3)。
∵MN//CQ，
∴当以M，N，C，Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边。
①当MC，NQ为对角线时，MC与NQ的中点重合，且CN = CQ，
∴$\begin{cases}-n - 3 - 3 = t + n² + 2n - 3 \\n² + (n² + 2n)² = (n + 3)²\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = 0 \\t = - 3\end{cases}$(此时N与C重合，舍去)或$\begin{cases}n = - 2 \\t = - 1\end{cases}$
∴Q(0, - 1)；
②当MQ，CN为对角线时，MQ与CN的中点重合，且CQ = CM，
∴$\begin{cases}-n - 3 + t = n² + 2n - 3 - 3 \\(t + 3)² = n² + (- n)²\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = 0 \\t = - 3\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}n = - 3 + \sqrt{2} \\t = - 1 - 3\sqrt{2}\end{cases}$或$\begin{cases}n = - 3 - \sqrt{2} \\t = - 1 + 3\sqrt{2}\end{cases}$
∴Q(0, - 1 - 3$\sqrt{2}$)或(0, - 1 + 3$\sqrt{2}$)。
综上所述，Q的坐标为(0, - 1)或(0, - 1 - 3$\sqrt{2}$)或(0, - 1 + 3$\sqrt{2}$)。