《2025年实验班中考数学压轴题》

2.(娄底中考)从$ n $个不同元素中取出$ m $($ m \leq n $)个元素的所有组合的个数，叫作从$ n $个不同元素中取出$ m $个元素的组合数，用符号$ \mathrm{C}_n^m $表示，$ \mathrm{C}_n^m = \dfrac{n(n - 1)(n - 2) \dots (n - m + 1)}{m(m - 1) \dots 1} $($ n \geq m $，$ n $，$ m $为正整数)。例如：$ \mathrm{C}_5^2 = \dfrac{5 × 4}{2 × 1} $，$ \mathrm{C}_8^3 = \dfrac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1} $，则$ \mathrm{C}_9^4 + \mathrm{C}_9^5 = $(C)。

A.$ \mathrm{C}_9^6 $
B.$ \mathrm{C}_{10}^4 $
C.$ \mathrm{C}_{10}^5 $
D.$ \mathrm{C}_{10}^6 $

答案： 2. C [解析]$\because C_n^m = \frac{n(n - 1)(n - 2)·s(n - m + 1)}{m(m - 1)·s1}$，
$\therefore C_9^3 + C_9^5 = \frac{9 × 8 × 7 × 6}{4 × 3 × 2 × 1} + \frac{9 × 8 × 7 × 6 × 5}{5 × 4 × 3 × 2 × 1}$
$= \frac{5 × 9 × 8 × 7 × 6}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} + \frac{9 × 8 × 7 × 6 × 5}{5 × 4 × 3 × 2 × 1}$
$= 2 × \frac{9 × 8 × 7 × 6 × 5}{5 × 4 × 3 × 2 × 1}$
$= \frac{10 × 9 × 8 × 7 × 6}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = C_{10}^5$。
故选C。

3. 分类讨论思想(泰安泰山区三模)喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：$ 1 $，$ 4 $，$ 9 $这三个数$ \sqrt{1 × 4} = \sqrt{4} = 2 $，$ \sqrt{1 × 9} = \sqrt{9} = 3 $，$ \sqrt{4 × 9} = \sqrt{36} = 6 $，其结果分别为$ 2 $，$ 3 $，$ 6 $，都是整数，所以$ 1 $，$ 4 $，$ 9 $三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是$ 2 $，最大的算术平方根是$ 6 $。已知$ 2 $，$ a $，$ 8 $三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的$ 3 $倍，则$ a $的值为18。

答案： 3. 18 [解析]由题意可分3种情况：①$\sqrt{8a} = 3\sqrt{2a}$，解得
$a = 0$，不符合题意；②$\sqrt{8a} = 3\sqrt{2 × 8}$，解得$a = 18$，符合题
意；③$\sqrt{2 × 8} = 3\sqrt{2a}$，解得$a = \frac{8}{9}$，不符合题意。
综上，$a$的值为18。

4.(泸州中考)对于任意实数$ a $，$ b $，定义新运算：$ a※b = \begin{cases} a\ (a \geq b), \\ -a\ (a ＜ b), \end{cases} $给出下列结论：
①$ 8※2 = 8 $；
②若$ x※3 = 6 $，则$ x = 6 $；
③$ a※b = (-a)※(-b) $；
④若$ (2x - 4)※2 ＜ 5x $，则$ x $的取值范围为$ x ＞ \dfrac{4}{7} $。
其中正确结论的个数是(B)。

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 4. B [解析]①$\because 8 ＞ 2$，$\therefore 8 ※ 2 = 8$，正确；②若$x \geq 3$，则$x = 6$；若$x ＜ 3$，则$-x = 6$，此时$x = -6$；③若$a ＞ b$，
则$-a ＜ -b$，$\therefore a ※ b = a$，$(-a) ※ (-b) = a$，则$a ※ b =$
$(-a) ※ (-b)$；若$a = b$，则$a ※ b = a$，$(-a) ※$
$(-b) = -a$，此时$a ※ b \neq (-a) ※ (-b)$，$\therefore$此结论错误；
④若$2x - 4 \geq 2$，即$x \geq 3$时，由$(2x - 4) ※ 2 ＜ 5x$，得$2x - 4 ＜ 5x$，解得$x ＞ -\frac{4}{3}$。此时$x \geq 3$；若$2x - 4 ＜ 2$，即$x ＜$
3时，由$(2x - 4) ※ 2 ＜ 5x$，得$-2x + 4 ＜ 5x$，解得$x ＞ \frac{4}{7}$。
此时$\frac{4}{7} ＜ x ＜ 3$。综上，若$(2x - 4) ※ 2 ＜ 5x$，则$x$的取值范
围为$x ＞ \frac{4}{7}$。此结论正确。故选B。

5. 实验班原创 对于任意一个三位数$ A $，若它的个位数字与十位数字的差是百位数字与十位数字的差的$ 3 $倍，则称这个三位数为“$ 3 $倍差数”，将该三位数去掉十位数字后得到的新两位数记为$ F(A) $，去掉个位数字后得到的新两位数记为$ G(A) $。例如：三位数$ A = 547 $，$ \because 7 - 4 = 3 × (5 - 4) $，$ \therefore 547 $是一个“$ 3 $倍差数”，此时$ F(A) = 57 $，$ G(A) = 54 $，对于一个“$ 3 $倍差数”$ A = 100a + 20b + c $($ 1 \leq a \leq 9 $，$ 0 \leq b \leq 4 $，$ 0 \leq c \leq 9 $，$ a $，$ b $，$ c $均是整数)，若$ \dfrac{F(A) + G(A)}{a} $为整数，则所有满足条件的$ A $的个数为7。

答案： 5. 7 [解析]$A = 100a + 20b + c$，
$\therefore$它的个位数字为$c$，十位数字为$2b$，百位数字为$a$。
$\rightarrow$注意$A$的表达式中$b$的系数为20，故十位数
字为$2b$而非$b$
根据“3倍差数”的定义：$c - 2b = 3(a - 2b)$，$\therefore c = 3a - 4b$。
又$F(A) = \frac{F(A) + G(A)}{a} = \frac{10a + c + 10a + 2b}{20a + 2b + c} = \frac{20a + 2b + 3a - 4b}{23a - 2b} = 23 - \frac{2b}{a}$ $\because 1 \leq a \leq 9$，$0 \leq b \leq 4$，$\therefore$若$23 - \frac{2b}{a}$
为整数，$\therefore$当$b$为0时，$a$取1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9个
数；当$b$为1时，$a$取1,2，共2个数；当$b$为2时，$a$取1,
2,4，共3个数；当$b$为3时，$a$取1,2,3,6，共4个数；当$b$
为4时，$a$取1,2,4,8，共4个数。又$c = 3a - 4b$，当$b$
为0时，$a$取1,2,3，共3个数；当$b$为1时，$a$取2；当$b$
为2时，$a$取4；当$b$为3时，$a$取6；当$b$为4时，$a$取8，
$\therefore$满足条件的$A$的个数共有$3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$(个)。

6.(重庆中考)一个各数位均不为$ 0 $的四位自然数$ M = \overline{abcd} $，若满足$ a + d = b + c = 9 $，则称这个四位数为“友谊数”。例如：四位数$ 1\ 278 $，$ \because 1 + 8 = 2 + 7 = 9 $，$ \therefore 1\ 278 $是“友谊数”。若$ \overline{abcd} $是一个“友谊数”，且$ b - a = c - b = 1 $，则这个数为3456；若$ M = \overline{abcd} $是一个“友谊数”，设$ F(M) = \dfrac{M}{9} $，且$ \dfrac{F(M) + \overline{ab} + \overline{cd}}{13} $是整数，则满足条件的$ M $的最大值是6273。

答案： 6. 3456 6273 [解析]$\because abcd$是一个“友谊数”，$\therefore a + d$
$= b + c = 9$。又$b - a = c - b = 1$，$\therefore b = 4$，$c = 5$，$\therefore a = 3$，$d = 6$，
$\therefore$这个数为3456。$\because M = abcd$是一个“友谊数”，$\therefore M =$
$1000a + 100b + 10c + d = 1000a + 100b + 10(9 - b) + 9 -$
$a = 999a + 90b + 99$，$\therefore F(M) = \frac{M}{9} = 111a + 10b + 11$，
$\therefore F(M) + ab + cd = \frac{111a + 10b + 11 + 10a + b + 10c + d}{13}$
$= \frac{111a + 10b + 11 + 10a + b + 10(9 - b) + 9 - a}{13}$
$= \frac{120a + b + 110}{13}$
$= 9a + 8 + \frac{3a + b + 6}{13}$。
$\therefore F(M) + ab + cd$是整数，$\therefore 9a + 8 + \frac{3a + b + 6}{13}$
是整数，
即$\frac{3a + b + 6}{13}$是整数，$\therefore 3a + b + 6$是13的倍数。$\because a$，$b$，$c$，
$d$都是不为0的正整数，且$a + d = b + c = 9$，$\therefore a \leq 8$，$\therefore$当
$a = 8$时，$31 \leq 3a + b + 6 \leq 38$，此时不满足$3a + b + 6$是
13的倍数，不符合题意；当$a = 7$时，$28 \leq 3a + b + 6 \leq 35$，
此时不满足$3a + b + 6$是13的倍数，不符合题意；当$a =$
6时，$25 \leq 3a + b + 6 \leq 32$，此时可以满足$3a + b + 6$是
13的倍数，即此时$b = 2$，则此时$d = 3$，$c = 7$。$\because$要使$M$最
大，则一定要满足$a$最大，$\therefore$满足题意的$M$的最大值即
为6273。

7.(成都中考)定义：如果一个正整数能表示为两个正整数$ m $，$ n $的平方差，且$ m - n ＞ 1 $，则称这个正整数为“智慧优数”。例如，$ 16 = 5^2 - 3^2 $，$ 16 $就是一个智慧优数，可以利用$ m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) $进行研究。若将智慧优数从小到大排列，则第$ 3 $个智慧优数是15，第$ 23 $个智慧优数是57。

答案： 7. 15 57 [解析]注意到$m - n ＞ 1$，则$m - n \geq 2$，$\therefore m \geq$
$n + 2$。
当$m = n + 2$时，由$(n + 2)^2 - n^2 = 4 + 4n$产生的智慧优
数为8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64，
68,72,76,80,$·s$，
当$m = n + 3$时，由$(n + 3)^2 - n^2 = 9 + 6n$产生的智慧优
数为15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,$·s$，
当$m = n + 4$时，由$(n + 4)^2 - n^2 = 16 + 8n$产生的智慧优
数为24,32,40,48,56,64,72,80,$·s$，
当$m = n + 5$时，由$(n + 5)^2 - n^2 = 25 + 10n$产生的智慧优
数为35,45,55,65,75,85,$·s$，
当$m = n + 6$时，由$(n + 6)^2 - n^2 = 36 + 12n$产生的智慧优
数为48,60,72,84,$·s$，
当$m = n + 7$时，由$(n + 7)^2 - n^2 = 49 + 14n$。产生的智慧优
数为63,77,91,$·s$，
当$m = n + 8$时，由$(n + 8)^2 - n^2 = 64 + 16n$产生的智慧优
数为80,96,$·s$，
综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8,12，
15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40,44,45,48，
51,52,55,56,57,60,63,64,65,68,69,$·s$，
故第3个智慧优数是15，第23个智慧优数是57。