《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 如图,以$ O $为端点画六条射线$ OA $,$ OB $,$ OC $,$ OD $,$ OE $,$ OF $,再从射线$ OA $上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线,如果将各条射线所描的点依次记为1,2,3,4,5,6,7,8,…后,那么所描的第2026个点在射线OD上.

答案： 3. OD [解析]$\because 1$ 在射线 $OA$ 上，$2$ 在射线 $OB$ 上，$3$ 在射线 $OC$ 上，$4$ 在射线 $OD$ 上，$5$ 在射线 $OE$ 上，$6$ 在射线 $OF$ 上，$7$ 在射线 $OA$ 上，$·s$，每六个一循环，$2026 ÷ 6 = 337 ·s ·s 4$，
$\therefore$ 所描的第 $2026$ 个点和 $4$ 所在射线一样，$\therefore$ 所描的第 $2026$ 个点在射线 $OD$ 上。

4. (甘肃中考)勾股树是一个可以无限生长的树形图形,它既展示了数学中的精确与秩序,还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树的形成过程,其中第1个图形是正方形,第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形,再以这个直角三角形的两条直角边为边长,分别向外生成两个新的正方形,重复上述步骤得到第3个图形,…,则第5个图形中共有31个正方形.

答案： 4. 31 [解析]由题图可知，第一个图形有 $1$ 个正方形，第二个图形有 $1 + 2 = 3$（个）正方形，第三个图形有 $1 + 2^{1}+2^{2} = 7$（个）正方形，$·s$，第 $5$ 个图形中共有 $1 + 2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4} = 31$（个）正方形。

5. 观察图形:图中是边长为1,2,3……的正方形,当$ n = 1 $时,正方形被分成2个全等的小等腰直角三角形;当$ n = 2 $时,正方形被分成8个全等的小等腰直角三角形;当$ n = 3 $时,正方形被分成18个全等的小等腰直角三角形;…,以此类推:当边长为$ n $时,正方形被分成全等的小等腰直角三角形的个数是(B).

A.$ 2n $
B.$ 2n^2 $
C.$ \frac{n^2}{2} $
D.$ n^3 $

答案： 5. B [解析]当 $n = 1$ 时，正方形被分成 $2 × 1^{2} = 2$ 个全等的小等腰直角三角形；当 $n = 2$ 时，正方形被分成 $2 × 2^{2} = 8$ 个全等的小等腰直角三角形；当 $n = 3$ 时，正方形被分成 $2 × 3^{2} = 18$ 个全等的小等腰直角三角形；$·s$。由此可以发现：当边长为 $n$ 时，正方形被分成全等的小等腰直角三角形的个数是 $2n^{2}$。故选 B。

6. (江西中考)如图,$ \triangle ABC $是面积为1的等边三角形,分别取$ AC $,$ BC $,$ AB $的中点得到$ \triangle A_1B_1C_1 $;再分别取$ A_1C $,$ B_1C $,$ A_1B_1 $的中点得到$ \triangle A_2B_2C_2 $;…,依此类推,则$ \triangle A_nB_nC_n $的面积为(C).

A.$ \left( \frac{1}{2} \right)^{n + 1} $
B.$ \left( \frac{1}{3} \right)^n $
C.$ \left( \frac{1}{4} \right)^n $
D.$ \left( \frac{1}{4} \right)^{n - 1} $

答案： 6. C [解析]由题知，因为点 $A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$ 分别是 $AC$，$BC$，$AB$ 的中点，$\therefore A_{1}B_{1} // AB$，$B_{1}C_{1} // BC$，$A_{1}C_{1} // AC$，$A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB$，$\therefore \triangle A_{1}B_{1}C_{1} \sim \triangle ABC$，则 $\frac{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{A_{1}B_{1}}{AB})^{2}=\frac{1}{4}$。
相似三角形面积之比等于相似比的平方
又 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，所以 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 的面积为 $\frac{1}{4}$。同理可得，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ 的面积为 $\frac{1}{4^{2}}$，$\triangle A_{3}B_{3}C_{3}$ 的面积为 $\frac{1}{4^{3}}$，$·s$，所以 $\triangle A_{n}B_{n}C_{n}$ 的面积可表示为 $\frac{1}{4^{n}}$。故选 C。

7. [实验班原创] 如图,是一个水平摆放的小正方体木块,图(1)(2)(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第$ n $个叠放的图形中,最下面一层小正方体木块总数应是$4n - 3$.

答案： 7. $4n - 3$ [解析]观察图形知，第 $1$ 个图形中最下面一层的小正方体的个数为 $1 = 1 + 4 × (1 - 1)$；第 $2$ 个图形中最下面一层的小正方体的个数为 $5 = 1 + 4 × (2 - 1)$；第 $3$ 个图形中最下面一层的小正方体的个数为 $9 = 1 + 4 × (3 - 1)$；$·s$；第 $n$ 个图形中最下面一层的小正方体的个数为 $1 + 4(n - 1)=4n - 3$。

8. (泰安泰山区模拟)如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle C = 90° $,$ BC = 1 $,$ AC = 2 $,四边形$ CA_1B_1C_1 $,$ A_1A_2B_2C_2 $,$ A_2A_3B_3C_3 $,…都是正方形,且$ A_1 $,$ A_2 $,$ A_3 $,…在边$ AC $上,$ B_1 $,$ B_2 $,$ B_3 $,…在边$ AB $上,则线段$ B_{2025}C_{2025} $的长为$(\frac{2}{3})^{2025}$.

答案： 8. $(\frac{2}{3})^{2025}$ [解析]在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AC = 2$，四边形 $CA_{1}B_{1}C_{1}$，$A_{1}A_{2}B_{2}C_{2}$，$A_{2}A_{3}B_{3}C_{3}$，$·s$ 都是正方形，$\therefore CC_{1}=B_{1}C_{1}$，$CA_{1} // B_{1}C_{1}$，
$\therefore \triangle BB_{1}C_{1} \sim \triangle BAC$，$\therefore \frac{BC_{1}}{BC}=\frac{B_{1}C_{1}}{AC}$。
设 $CC_{1}=B_{1}C_{1}=x$，
$\because BC = 1$，$\therefore BC_{1}=BC - CC_{1}=1 - x$。
$\because AC = 2$，$\therefore \frac{1 - x}{1}=\frac{x}{2}$，解得 $x=\frac{2}{3}$，即 $B_{1}C_{1}=\frac{2}{3}$。
同理可得 $B_{2}C_{2}=\frac{4}{9}=(\frac{2}{3})^{2}$，$B_{3}C_{3}=\frac{8}{27}=(\frac{2}{3})^{3}$，$·s$，
归纳类推，得 $B_{n}C_{n}=(\frac{2}{3})^{n}$，其中 $n$ 为正整数，
$\therefore B_{2025}C_{2025}=(\frac{2}{3})^{2025}$。