《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle A = 90° $，$ AB = AC = 9 $，以点$ A $为圆心，$ 6 $为半径的圆上有一个动点$ P $。连接$ AP $，$ BP $，$ CP $，则$ \frac{2}{3}BP + CP $的最小值是(B)。

A.$ 3\sqrt{13} $
B.$ \sqrt{97} $
C.$ \frac{9\sqrt{5}}{2} $
D.$ 2 + 3\sqrt{13} $

答案：
2.B[解析]如图,在AB上截取一点F,使AF=4.
　　　　　　　　
∵AB=9,AP=6,
∴$\frac{AF}{AP}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$,$\frac{AP}{AB}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AF}{AP}$=$\frac{AP}{AB}$.又∠FAP=∠PAB,
∴△FAP∽△PAB,
∴$\frac{PF}{BP}$=$\frac{AF}{AP}$=$\frac{2}{3}$，
∴PF=$\frac{2}{3}$PB,
∴$\frac{2}{3}$BP+CP=PF+CP≥CF,
∴当C,P,F三点在同一条直线上，即P为CF 与⊙A的交点时，PF十CP的值最小，为CF的长.
∵在Rt△AFC中,AF=4,AC=9,
∴FC=$\sqrt{AF²+AC²}$=$\sqrt{4²+9²}$=$\sqrt{97}$,即$\frac{2}{3}$BP+CP的最小值为$\sqrt{97}$.故选B.

3. 如图，已知矩形$ ABCD $，$ AB = 8 $，$ BC = 6 $，以点$ A $为圆心，$ 5 $为半径作圆，点$ M $为圆$ A $上一动点，连接$ CM $，$ MD $，则$ \frac{1}{2}CM + MD $的最小值为$\frac{\sqrt{97}}{2}$。

答案：
3.$\frac{\sqrt{97}}{2}$　[解析]如图，连接AC,交⊙A于点E,取AE的中点N,连接MN,ND.
∵在矩形ABCD中，AB=8,BC=6，
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$.
∵AM =5,AN=2.5,
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{2.5}{5}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{AM}{AC}$.
∵∠MAN=∠CAM,
∴△MAN∽△CAM,
∴$\frac{MN}{CM}$=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{1}{2}$,即MN=$\frac{1}{2}$MC,
∴$\frac{1}{2}$CM+MD=MN+DM≥DN,当且仅当N,M,D三点共线时等号成立，即$\frac{1}{2}$CM+MD 的最小值就是DN的长.作NH⊥AD于点H,易求得NH=2.5×$\frac{4}{5}$=2,AH=2.5×$\frac{3}{5}$=1.5,HD=AD−AH=6−1.5=4.5,
∴ND=$\sqrt{NH²+HD²}$=$\sqrt{2²+4.5²}$=$\frac{\sqrt{97}}{2}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

4. 如图，在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90° $，$ CB = 4 $，$ CA = 6 $，$ \odot C $半径为$ 2 $，$ P $为圆上一动点，连接$ AP $，$ BP $，则$ 2AP + BP $的最小值为(A)。

A.$ 2\sqrt{37} $
B.$ 12 $
C.$ 4\sqrt{17} - 2 $
D.$ 8 $

答案：
4.A[解析]如图，连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{CB}$=$\frac{1}{2}$.又∠PCD=∠BCP,
∴△PCD∽△BCP,
∴$\frac{PD}{BP}$=$\frac{CP}{CB}$=$\frac{1}{2}$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PD=$\frac{1}{2}$PB,
∴AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD,
∴当点A,P,D在同一条直线上时，AP+PD最小.在Rt△ACD中,CD=1,AC=6,
∴AD=$\sqrt{AC²+CD²}$=$\sqrt{37}$.
∵2AP+PB=2(AP+$\frac{1}{2}$PB),
∴2AP+BP的最小值为2$\sqrt{37}$.故选A.

5. 如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90° $，$ BC = 12 $，$ CA = 9 $，以点$ C $为圆心，$ 6 $为半径的圆上有一个动点$ D $。连接$ AD $，$ BD $，$ CD $，则$ 2AD + 3BD $的最小值是12$\sqrt{10}$。

答案：
5.12$\sqrt{10}$　[解析]如图，在CA上截取CM,使CM=4,连接DM,BM.
∵CD=6,CM=4,CA=9,
∴CD²=CM·CA,
∴$\frac{CD}{CM}$=$\frac{CA}{CD}$.
　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠DCM=∠ACD,
∴△DCM∽△ACD,
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{2}{3}$,
∴DM=$\frac{2}{3}$AD,
∴$\frac{2}{3}$AD+BD=DM+BD.
∵DM+BD ≥BM,在Rt△CBM中,∠MCB=90°,CM=4,BC=12,
∴BM=$\sqrt{CM²+BC²}$=4$\sqrt{10}$,
∴$\frac{2}{3}$AD+BD≥4$\sqrt{10}$,
∴$\frac{2}{3}$AD+BD的最小值为4$\sqrt{10}$,
∴2AD+3BD的最小值是12$\sqrt{10}$.

6. 已知$ \odot O $是正方形$ ABCD $的内切圆，$ AB = 4 $，点$ P $是$ \odot O $上一动点，则$ AP + \frac{\sqrt{2}}{2}PD $的最小值为$\sqrt{10}$。

答案：
6.$\sqrt{10}$　[解析]如图，连接OA,OP,OD,在OD上取一点E,使OE=√2,连接PE,AE.
∵OP²=2²=4,OE·OD=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4,
∴OP²=OE·OD,∠POE=∠DOP,
∴△POE∽△DOP,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$\frac{PE}{DP}$=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD,
∴AP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD=AP+PE≥AE,
∴在Rt△AOE中,AE=$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{10}$,即AP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD的最小值为$\sqrt{10}$.

7. 如图，正方形$ ABCD $的边长为$ 4 $，$ E $为$ BC $的中点，以$ B $为圆心，$ BE $为半径作$ \odot B $，点$ P $是$ \odot B $上一动点，连接$ PD $，$ PC $，则$ PD + \frac{1}{2}PC $的最小值为5。

答案：
7.5　[解析]如图,在BC上取一点T,使得BT=1,连接PB,PT,DT.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCT=90°.
∵CD=4,CT=3,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴DT=$\sqrt{CD²+CT²}$=$\sqrt{4²+3²}$=5.
∵PB=2,BT=1,BC=4,
∴PB²=BT·BC,
∴$\frac{PB}{BT}$=$\frac{BC}{PB}$.
∵∠PBT=∠PBC,
∴△PBT∽△CBP,
∴$\frac{PT}{CP}$=$\frac{PB}{CB}$=$\frac{1}{2}$,
∴PT=$\frac{1}{2}$PC.
∵PD+$\frac{1}{2}$PC=PD+PT≥DT=5,
∴PD+$\frac{1}{2}$PC的最小值为5.

8. 如图，在扇形$ OAB $中，$ \angle AOB = 90° $，$ OA = 6 $，$ C $是$ OA $的中点，$ D $是$ OB $上一点，$ OD = 5 $，$ P $是$ \overset{\frown}{AB} $上一动点，则$ PC + \frac{1}{2}PD $的最小值为$\frac{13}{2}$。

答案：
8.$\frac{13}{2}$　[解析]如图，延长OA使AE=OB,连接ED，EP,OP.
∵AO=OB=6,C是OA的中点，
∴OE=12,OP=6,OC=AC=3,
∴$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{2}$,且∠COP=∠EOP,
∴△OPE∽△OCP,
∴$\frac{PC}{EP}$=$\frac{OP}{OE}$=$\frac{1}{2}$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴EP=2PC,
∴PC+$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$(2PC+PD)=$\frac{1}{2}$(PD+PE),
∴当E,P,D三点共线时,PC+$\frac{1}{2}$PD的值最小.
∵DE=$\sqrt{OD²+OE²}$=$\sqrt{5²+12²}$=13,
∴PD+PE≥DE=13,
∴PD+PE的最小值为13,
∴PC+$\frac{1}{2}$PD的最小值为$\frac{13}{2}$.

9. 如图所示，在$ \triangle ABC $中，$ \angle B = 90° $，$ BA = BC = 2 $，以$ B $为圆心作$ \odot B $与$ AC $相切，点$ P $是$ \odot B $上任一动点，连接$ PA $，$ PC $，则$ \sqrt{2}PA + PC $的最小值为$\sqrt{10}$。

答案：
9.$\sqrt{10}$　[解析]过点B作BH⊥AC于点H,取BC的中点D,连接PD,PB,AD.
　　　　　　　　
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径.
∵∠ABC=90°,AB=CB=2,
∴AC=√2BA=2$\sqrt{2}$,
∴BH=$\frac{1}{2}$AC=√2,
∴BP=√2,
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{BD}{BP}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BD}{BP}$.
又∠PBD=∠CBP,
∴△BPD∽△BCP,
∴$\frac{PD}{CP}$=$\frac{PB}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC,
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=PA+PD.
当P,A,D三点共线时，PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC的最小值为AD 的长.
∵AD=$\sqrt{2²+1²}$=√5,
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC的最小值为√5，则$\sqrt{2}$PA+PC的最小值为$\sqrt{10}$.

10. 如图，在矩形$ ABCD $中，$ AB = 18 $，$ BC = 25 $，$ P $是矩形内部一点，且$ AP = 15 $，连接$ PC $，$ PD $，则$ PC + \frac{3}{5}PD $的最小值为$2\sqrt{145}$。

答案：
10.$2\sqrt{145}$　[解析]如图,在线段AD上作AE=$\frac{3}{5}$AP=9,连接PE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=25.
∵$\frac{PA}{DA}$=$\frac{15}{25}$=$\frac{3}{5}$,$\frac{AE}{AP}$=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{PA}{DA}$=$\frac{AE}{AP}$.
∵∠PAE=∠DAP,
∴△PAE∽△DAP,
∴$\frac{PE}{DP}$=$\frac{3}{5}$,
∴PE=$\frac{3}{5}$PD,
∴PC+$\frac{3}{5}$PD=PC+PE.以点A为圆心,AP长为半径作弧，连接CE交⊙A于点P',
∴当P,E,C三点共线,即点P,P'重合时,PC+$\frac{3}{5}$PD取得最小值，最小值为CE 的长.在Rt△CDE中,CD=AB=18,DE=AD−AE=16,由勾股定理得CE=$\sqrt{18²+16²}$=2$\sqrt{145}$,
∴PC+$\frac{3}{5}$PD的最小值为2$\sqrt{145}$.