《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (江苏泰州靖江月考)如图，直线$l:y = -x + 4$交$x$轴、$y$轴的正半轴分别于点$E,D$，有抛物线$y = ax^2 + (1 - 2a)x - 2(a\gt 0)$。
(1) 求证：当$a(a\gt 0)$变化时，抛物线与$x$轴恒有两个交点。
(2) 当$a(a\gt 0)$变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，说明理由。
(3) 设直线$l$与抛物线交于$M,N$两点。探究：在直线$l$上是否存在点$P$，使得无论$a(a\gt 0)$怎么变化，$PM· PN$恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点$P$的坐标，并说明点$P$是否在线段$MN$上；若不存在，请说明理由。

思路分步拆解
(1) $\Delta = (1 - 2a)^2 - 4a×(-2) = $$\gt 0$，所以抛物线与$x$轴恒有两个交点。
(2) $y = ax^2 + (1 - 2a)x - 2 = $$$，所以当$$$ = 0$时，抛物线恒经过定点。
(3) (第一步：由几何关系确定$PM$，$PN$的值)设点$P(t,4 - t)$，对于$y = -x + 4$，当$x = 0$时，$y = 4$。当$y = 0$时，$x = 4$，即$E($$, $$)$，$D($$, $$)$，$\triangle ODE$是等腰直角三角形。设点$M,N$的横坐标为$x_1,x_2$，所以$PM = $$$，$PN = $$$；
(第二步：由根与系数的关系确定$PM· PN$的解析式)联立$\begin{cases}y = -x + 4\\y = ax^2 + (1 - 2a)x - 2\end{cases}$，整理得$ax^2 + (2 - 2a)x - 6 = 0$，由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = $________ $$，$x_1· x_2 = $________ $$，则$PM· PN = $________ $$。据此分类讨论$PM· PN$为定值的情况即可得解。

答案：
解:
(1)
∵$a＞0$，且$\Delta=(1 - 2a)^{2}-4a×(-2)=(1 + 2a)^{2}＞0$，
∴当$a(a＞0)$变化时，抛物线与$x$轴恒有两个交点.
(2)当$a(a＞0)$变化时，抛物线恒经过定点.理由如下:
∵$y = ax^{2}+(1 - 2a)x - 2=a(x^{2}-2x)+x - 2$，
∴当$x^{2}-2x=x(x - 2)=0$，即$x = 0$或$2$时，抛物线恒经过定点，定点为$(0,-2)$或$(2,0)$.
(3)存在.理由如下:
根据题意画出大致图象如图所示.
设点$M$，$N$的横坐标分别为$x_{1}$，$x_{2}$，
联立$\begin{cases}y=-x + 4\\y=ax^{2}+(1 - 2a)x - 2\end{cases}$，
整理得$ax^{2}+(2 - 2a)x - 6 = 0$，
∴$x_{1}+x_{2}=2 - \frac{2}{a}$，$x_{1}· x_{2}=-\frac{6}{a}$.
设点$P(t,4 - t)$，对于$y=-x + 4$，当$x = 0$时，$y = 4$；当$y = 0$时，$x = 4$，
∴$E(4,0)$，$D(0,4)$，
∴$OD = OE = 4$，
∴$\triangle ODE$是等腰直角三角形，
∴$PM=\sqrt{2}|t - x_{1}|$，$PN=\sqrt{2}|t - x_{2}|$，
∴$PM· PN=2|t^{2}-2t + \frac{2(t - 3)}{a}|$.
∴当$t = 3$时，$PM· PN$恒为定值，此时点$P(3,1)$，即当$x = 3$时，$y_{P}=1$.此外当点$P$和点$M$或$N$重合时，$PM· PN = 0$是定值，但$M$，$N$不是定点，故舍去.当$x = 3$时，此时对应抛物线上的点的纵坐标为$y=a×3^{2}+(1 - 2a)×3 - 2=9a + 3 - 6a - 2=3a + 1＞1$，即$x = 3$时，抛物线上对应点在点$P$的上方，故点$N$在点$P$的左侧，故点$P$不在线段$MN$上.综上，符合条件点$P$的坐标为$(3,1)$，点$P$不在线段$MN$上.