《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 实验班原创 如图，二次函数$y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$的坐标为$(0,-3)$，连接$BC$。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 点$P$是抛物线在第四象限图象上的任意一点，求当$\triangle BCP$的面积最大时，边$BC$上的高$PN$的值。

答案：
1.
(1)把(−1,0)和(0,−3)代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c,
得$\begin{cases}\frac{1}{2}-b + c = 0\\c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -\frac{5}{2}\\c = -3\end{cases}$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²−$\frac{5}{2}$x−3。
(2)令y=0,则0=$\frac{1}{2}$x²−$\frac{5}{2}$x−3,解得x₁=−1,x₂=6,
∴点B的坐标为(6,0)。
∴BC=$\sqrt{OB²+OC²}$=$\sqrt{3²+6²}$=3$\sqrt{5}$。
设直线BC的解析式为y=mx+n,
则$\begin{cases}n = -3\\6m + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n = -3\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x−3。
如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D,
设点P的坐标为(p,$\frac{1}{2}$p²−$\frac{5}{2}$p−3),则点D的坐标为(p,$\frac{1}{2}$p−3)。
∴PD=$\frac{1}{2}$p−3−($\frac{1}{2}$p²−$\frac{5}{2}$p−3)=−$\frac{1}{2}$p²+3p。
∴S△PBC=$\frac{1}{2}$PD·OB=$\frac{1}{2}$×6(−$\frac{1}{2}$p²+3p)=−$\frac{3}{2}$(p−3)²+$\frac{27}{2}$。
∴当p=3时,△PBC的面积最大为$\frac{27}{2}$。
∴PN=$\frac{2S_{\triangle PBC}}{BC}$=$\frac{27}{3\sqrt{5}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$。

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y = -x^2 + bx + c$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$D(3,4)$为抛物线上一点。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 连接$BC$，点$Q$为直线$BC$上方抛物线上一点，过点$Q$作$QE \perp x$轴于点$E$，作$QF // x$轴交$BC$于点$F$，求$QE + QF$的最大值及此时点$Q$的坐标。

答案：
2.
(1)把A(−1,0),D(3,4)代入抛物线y=−x²+bx+c中,得$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-9 + 3b + c = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 3\\c = 4\end{cases}$，
∴该抛物线的解析式为y=−x²+3x+4。
(2)如图，设Q(t,−t²+3t+4)。对于y=−x²+3x+4,当x=0时,y=4；当y=0时,−x²+3x+4=0,
解得x₁=4,x₂=−1,
∴C(0,4),B(4,0)。
设直线BC的解析式为y=kx+m,
∵$\begin{cases}m = 4\\4k + m = 0\end{cases}$，
∴$\begin{cases}k = -1\\m = 4\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为y=−x+4。
∵QE⊥x轴,QF//x轴,
∴QE=−t²+3t+4,yF=−t²+3t+4,
∴F(t²−3t,−t²+3t+4),
∴QF=t−t²+3t=−t²+4t,
∴QE+QF=−t²+3t+4−t²+4t=−2t²+7t+4=−2(t - $\frac{7}{4}$)²+$\frac{81}{8}$。
∵−2＜0,
∴当t=$\frac{7}{4}$时,QE+QF有最大值是$\frac{81}{8}$,此时点Q的坐标为($\frac{7}{4}$,$\frac{99}{16}$)。