《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (扬州中考)如图，点$ A,B,M,E,F $依次在直线$ l $上，点$ A,B $固定不动，且$ AB = 2 $，分别以$ AB,EF $为边在直线$ l $同侧作正方形$ ABCD $、正方形$ EFGH $，$ \angle PMN = 90° $，直角边$ MP $恒过点$ C $，直角边$ MN $恒过点$ H $。
(1)如图(1)，若$ BE = 10 $，$ EF = 12 $，求点$ M $与点$ B $之间的距离；
(2)如图(1)，若$ BE = 10 $，当点$ M $在点$ B,E $之间运动时，求$ HE $的最大值；
(3)如图(2)，若$ BF = 22 $，当点$ E $在点$ B,F $之间运动时，点$ M $随之运动，连接$ CH $，$ O $是$ CH $的中点，连接$ HB,MO $，则$ 2OM + HB $的最小值为2$\sqrt{221}$。

思路分步拆解
(1)(第一步：证明$ \triangle MCB \sim \triangle HME $)通过识别“一线三直角”模型，推出$ \angle BCM = $∠EMH$ $，再结合一组直角对应相等得到$ \triangle MCB \sim \triangle HME $；
(第二步：根据相似的性质得到关于$ BM $的方程进而求解)由$ \triangle MCB \sim \triangle HME $得到$ \frac{BC}{EM} = $$\frac{BM}{EH}$$ $，代入已知线段长度得到关于$ BM $的方程进而求解。
(2)由相似得到相似比，数形结合设未知数得到关于$ HE $的二次函数解析式，进而求最值。
(3)(第一步：线段和转化)先证$ $CH$ = 2OM $，将$ 2OM + HB $转化为$ $CH$ + HB $；
(第二步：构造将军饮马模型求最值)构造将军饮马模型作对称点，结合勾股定理计算即可。

答案：
典例思路分步拆解:
(1)∠EMH　$\frac{BM}{EH}$　
(3)CH　CH
解:
(1)由题意,得∠CBM=∠CMH=∠HEM=90°.
∵∠CMB+∠BCM=∠CMB+∠EMH=90°,
∴∠BCM=∠EMH,
∴△MCB∽△HME,
∴$\frac{BC}{EM}$=$\frac{BM}{EH}$.
∵BC=AB=2,EH=EF=12,BE=10,
∴$\frac{2}{10−BM}$=$\frac{BM}{12}$,解得BM=4或6,
∴点M与点B之间的距离是4或6.
(2)由
(1)知$\frac{BC}{EM}$=$\frac{BM}{EH}$,设EH=y,BM=x.
∵BE=10,
∴EM=10−x
∴$\frac{2}{10−x}$=$\frac{x}{y}$
∴y=−$\frac{1}{2}$x²+5x=−$\frac{1}{2}$(x−5)²+12.5.
配方法求函数最值
∵−$\frac{1}{2}$＜0,
∴当x=5时,y_{max}=12.5,
即HE最大值为12.5.
(3)2$\sqrt{221}$ [解析]
∵∠CMH=90°,O是CH的中点，
∴CH=2OM,
∴2OM+HB=CH+BH,
∴求2OM+HB的最小值就是求CH+BH的最小值.
如图，连接FH,则点H在∠EFG的平分线上，作点B关于FH的对称点B'，连接B'C交FH的延长线于点H'，则点H'即为所求点H的位置，B'C长度即为CH+HB的最小值.过点C作CQ⊥B'F.
∵∠BFH=∠B'FH=45°,
∴B'在FG的延长线上.
∵∠CBF=∠BFQ=∠FQC=90°,
∴四边形CBFQ为矩形，
∴FQ=BC=2.
∵BF=B'F=22,
∴B'Q=B'F−QF=20,在Rt△B'CQ中,B'C=√CQ²+B'Q²=2$\sqrt{221}$,即CH+BH的最小值为2$\sqrt{221}$,
∴2OM+HB最小值为2$\sqrt{221}$