《2025年实验班中考数学压轴题》

典例(舟山定海二中模拟)在平面直角坐标系中，点$ A(1,p) $和$ B(2,q) $在抛物线$ y = ax^2 - 2ax - a + 4 $(常数$ a ＞ 0 $)上。
(1) 求抛物线的对称轴；
(2) 求证：$ pq \geq -2 $；
(3) 取$ p = 2 $，将线段$ AB $沿水平方向平移得到线段$ A'B' $，若线段$ A'B' $与抛物线有交点，求点$ A' $的横坐标$ x $的取值范围。
思路分步拆解
(1) 依据解析式确定对称轴；
(2) (第一步：直接代入解析式求$ pq $的值)将点$ A(1,p) $和$ B(2,q) $代入$ y = ax^2 - 2ax - a + 4 $，得$ pq = $2a^{2}-12a + 16$ $；
(第二步：通过二次函数求最值)由二次函数的性质可求$ pq $的最小值，即可得证；
(3) (第一步：求线段$ A'B' $的解析式)由$ p = 2 $解得$ A($1$, $2$) $，$ B($2$, $3$) $，使用待定系数法解得$ AB:y = x + 1 $，由平移的性质得线段$ A'B' $的解析式；
(第二步：分类讨论)结合线段$ A'B' $与抛物线有交点，分$ AB $向左平移和向右平移两种情况讨论，找到临界值，即可求出$ x $的取值范围。

答案： 典例思路分步拆解:
(2)$2a^{2}-12a + 16$　
(3)1　2　2　3
解:
(1)
∵抛物线$y = ax^{2}-2ax - a + 4$,
∴抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-2a}{2a} = 1$.
(2)
∵$A(1,p)$和$B(2,q)$在抛物线$y = ax^{2}-2ax - a + 4$上，
∴$p = a - 2a - a + 4 = -2a + 4$，$q = 4a - 4a - a + 4 = -a + 4$，
∴$pq = (-2a + 4)(-a + 4) = 2a^{2}-12a + 16 = 2(a - 3)^{2}-2$.
∵$2(a - 3)^{2}\geqslant 0$，
∴$pq\geqslant -2$.
(3)当$p = 2$时，将$A(1,2)$代入$y = ax^{2}-2ax - a + 4$，
得$2 = a - 2a - a + 4$，
∴$a = 1$，
∴$y = x^{2}-2x - 1 + 4 = x^{2}-2x + 3$，
∴$B(2,3)$.
设直线$AB$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，
将$A(1,2)$，$B(2,3)$代入解析式，
得$\begin{cases}k + b = 2\\2k + b = 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 1\\b = 1\end{cases}$，
∴直线$AB$的解析式为$y = x + 1$.
设将线段$AB$向右平移$m$个单位，
∴线段$A'B'$的解析式为$y = x + 1 - m$.
　↘水平方向平移时，需分向左、向右两类讨论
∵线段$A'B'$与抛物线有交点，
∴联立$\begin{cases}y = x^{2}-2x + 3\\y = x + 1 - m\end{cases}$，
整理得$x^{2}-3x + 2 + m = 0$，
∴$\Delta =b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4×1×(2 + m) = 1 - 4m = 0$，
∴$m = \frac{1}{4}$，
∴线段$A'B'$的解析式为$y = x + \frac{3}{4}$，
当$y = 2$时，有$2 = x + \frac{3}{4}$，
∴$x = \frac{5}{4}$，
∴点$A'$的横坐标为$\frac{5}{4}$.
∵抛物线$y = x^{2}-2x + 3$，对称轴为直线$x = 1$，
∴$(0,3)$与$B(2,3)$关于对称轴对称，
∴当将线段$AB$向左平移时，若点$B$到达点$(0,3)$，则此时平移后得到的线段$A'B'$仍与抛物线有交点，若继续向左平移，则没有交点，
∴此时点$A$向左平移$2$个单位，
∴点$A'$的横坐标为$1 - 2 = -1$，
∴点$A'$横坐标$x$的取值范围为$-1\leqslant x\leqslant\frac{5}{4}$.