《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如果一个四位整数$ P $能分解成两个两位数的乘积，且这两个两位数各数位上的数字之和相等，把这样的整数$ P $称为“可爱数”，即$ P = A × B $，$ A = 10a + b $，$ B = 10c + d $，$ a + b = c + d $($ 1 \leq a \leq 9 $，$ 0 \leq b \leq 9 $，$ 1 \leq c \leq 9 $，$ 0 \leq d \leq 9 $且$ a $，$ b $，$ c $，$ d $均为整数)。若$ 2A + B $恰好为完全平方数，且$ A $是$ 5 $的倍数，则满足条件的最大“可爱数”是5625。
思路分步拆解
(第一步：缩小$ b $的取值范围)根据题意重点列出相应的代数式，由$ A $是$ 5 $的倍数可以得知$ b = $0或5$ $；
(第二步：确定$ m $的最大值)设$ 2A + B = m^2 $，根据$ a $，$ b $，$ c $，$ d $的取值范围得到$m^2$的取值范围，确定$ m $的最大值；
(第三步：分情况进行讨论，考虑取值的合理性)对$ b $的不同情况进行讨论，确定适当的$ a $，$ c $，$ d $的值，求出$ P $，对求出来的不同$ P $比较大小，确定最大“可爱数”即可。

答案： 典例 思路分步拆解：0或5 $m^2$
5 625 [解析]设$2A + B = m^2$，由题意知，$P = A × B$，$A = 10a + b$，$B = 10c + d$，$a + b = c + d$，$2(10a + b) + (10c + d) = m^2$，$10a + b = 5n$，$m$，$n$为正整数，
$\therefore b = 0$或$b = 5$，$d = a + b - c$，$3(7a + b + 3c) = m^2$。
$\because 1 \leq a \leq 9$，$0 \leq b \leq 9$，$1 \leq c \leq 9$，$0 \leq d \leq 9$且$a$，$b$，$c$，$d$均为整数，
$\therefore 10 \leq 10a + b \leq 99$，$10 \leq 10c + d \leq 99$，
$\therefore 30 \leq m^2 \leq 297$，且$m^2$是3的整数倍，
$\therefore m$的最大值是15，
$\therefore 3(7a + b + 3c) = 225$，$7a + b + 3c = 75$。
①当$b = 0$时，$7a + 3c = 75$，$a = c + d \geq c$，
当$a = 9$时，$c = 4$，$d = 5$，$P = 4050$；
当$a = 8$时，$c = \frac{19}{3}$，舍去；当$a = 7$时，$c = \frac{26}{3}$，舍去；
②当$b = 5$时，$7a + 3c = 70$，当$a = 9$时，$c = \frac{7}{3}$，舍去；
当$a = 8$时，$c = \frac{14}{3}$，舍去；当$a = 7$时，$c = 7$，$d = 5$，$P = 5625$；
当$a = 6$时，$c = \frac{28}{3}$，舍去；当$a = 5$时，$c = \frac{35}{3}$，舍去。
$\because 4050 ＜ 5625$，$\therefore$满足条件的最大“可爱数”为5625。

1.(重庆一中期中)关于$ x $的多项式：$ A_n = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 $，其中$ n $为正整数。各项系数各不相同且均不为$ 0 $。交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“亲缘多项式”。当$ n = 3 $时，$ A_3 = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 $。
①多项式$ A_3 $共有$ 6 $个不同的“亲缘多项式”；
②多项式$ A_n $共有$\dfrac{n(n + 1)}{2}$个不同的“亲缘多项式”；
③若多项式$ A_n = (1 - 2x)^n $，则$ A_n $的所有系数之和为$ 1 $；
④若多项式$ A_4 = (2x - 1)^4 $，则$ a_4 + a_2 + a_0 = 41 $。
以上说法正确的有(C)。

A.$ 1 $个
B.$ 2 $个
C.$ 3 $个
D.$ 4 $个

答案： 1. C [解析]①多项式$A_3$共有6个不同的“亲缘多项式”，
正确，故①符合题意；
②多项式$A_n$共有$\frac{n(n + 1)}{2}$个不同的“亲缘多项式”，正确，
故②符合题意；
③若多项式$A_n = (1 - 2x)^n$，则$A_n$的所有系数之和为
$(1 - 2 × 1)^n = (-1)^n = \pm 1$，故③不符合题意；
④多项式$A_4 = (2x - 1)^4 = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，当$x = 1$时，$a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 = 1$，当$x = -1$时，
$a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0 = 81$，由此得$a_4 + a_2 + a_0 = 41$，正确，故④符合题意。
故选C。