《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 如图，$\triangle ABC$ 是等腰三角形，$AB = AC$，$\angle A = 30°$，$\angle QBC = \frac{2}{3}\angle ABC$，点 $D$ 是射线 $BQ$ 上一点，如果点 $D$ 满足 $\triangle BCD$ 是等腰三角形，那么 $\angle BDC$ 的度数是（ ）。



A.$30°$ 或 $65°$
B.$30°$，$65°$ 或 $80°$
C.$50°$ 或 $80°$
D.$50°$，$65°$ 或 $80°$

答案：
2.D　[解析]
∵AB = AC,∠A = 30°,
∴∠ABC = ∠ACB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 75°.
∵∠QBC = $\frac{2}{3}$∠ABC,
∴∠QBC = $\frac{2}{3}$×75° = 50°.
　分三种情况:
　当DB = DC时,如图
(1)，
∴∠DBC = ∠DCB = 50°,
∴∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠DCB = 80°;
　　　 当BD = BC时,如图
(2),
∴∠BDC = ∠BCD = $\frac{1}{2}$(180° - ∠DBC) = 65°;
　当CB = CD时,如图
(3),
∴∠DBC = ∠BDC = 50°.
　综上所述，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是50°,65°或80°.故选D.

3. 在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，点 $P$ 为对角线 $BD$ 上一点，且 $PD = \sqrt{2}$，当点 $E$ 在边 $BC$ 上，$AP = PE$ 时，$CE$ 的长为__________。

答案：
3.0或2　[解析]如图，作PM⊥BC于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC = DC = AB = 4,∠BCD = ∠ABC = 90°,∠ABD = ∠CBD = 45°,
∴BD = √2BC = 4√2.
　　　　　　　　　　　　　　　　
∵PD = √2,
∴BP = BD - PD = 3√2.
∵PM⊥BC,
∴△BMP是等腰直角三角形，
∴BM = PM = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BP = 3,
∴CM = BC - BM = 1.
　在△ABP和△CBP中，{AB = CB,∠ABP = ∠CBP,BP = BP,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴AP = CP.
∵AP = PE,
∴PE = CP.
∵PM⊥BC,
∴EM = CM = 1,
∴CE = 2CM = 2;
　当点E与C重合时,CE = 0.综上所述，CE的长为0或2.

4. （抚州临川二中二模）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = BC = 6$，$AO = BO$，点 $P$ 是射线 $CO$ 上的动点，$\angle AOC = 60°$，则当 $\triangle PAB$ 是直角三角形时，$AP$ 的长为____________。

答案：
4.3√3或3√7或3　[解析]当∠APB = 90°时,如图
(1)所示.
∵AO = BO,∠APB = 90°,
∴PO = BO.
∵∠AOC = 60°,
∴∠BOP = 60°,
∴△BOP为等边三角形.
∵AB = BC = 6,
∴BP = $\frac{1}{2}$AB = 3,
∴AP = √3BP = 3√3;
　　 　　
　当∠ABP = 90°时，如图
(2)所示.
∵∠AOC = ∠BOP = 60°,
∴∠BPO = 30°,
∴BP = √3OB = 3√3.
　在直角三角形ABP中,AP = $\sqrt{AB² + BP²}$ = $\sqrt{6² + (3√3)²}$ = 3√7;
　当∠APB = 90°时，如图
(3)所示.
　　　　　　　　
∵AO = BO,∠APB = 90°,
∴PO = AO.
∵∠AOC = 60°,
∴△AOP为等边三角形，
∴AP = AO = 3.
　综上所述，当△PAB是直角三角形时，AP的长为3√3或3√7或3.

5. （上饶一模）已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，点 $P$ 为线段 $AD$ 上的动点（不与点 $A$ 重合），点 $A$ 关于直线 $BP$ 的对称点为点 $E$，连接 $PE$，$BE$，$CE$，$DE$，当 $\triangle CDE$ 是等腰三角形时，$AP$ 的值为____________。

答案：
5.12 - 6√3或12 + 6√3或2√3　[解析]
∵四边形ABCD是正方形,且边长为6,
∴AB = BC = CD = AD = 6,∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠BAD = 90°.
　　根据轴对称的性质可得PA = PE,AB = BE = 6,∠PEB = ∠BAD = 90°,∠PBA = ∠PBE.
当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下三种情况:
①当CE = CD = 6时，过点E作EM⊥AD于点M,ME的延长线交BC于点N,如图
(1)所示.
∴∠NMD = ∠MNC = ∠BCD = ∠CDA = 90°,
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN = CD = 6.
　　　　　　　　　　　　　　　　
∵BE = BC = CE = 6,
∴△EBC是等边三角形，
∴CN = $\frac{1}{2}$BC = 3,∠EBC = 60°,
∴∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 30°.
　在Rt△ECN中,由勾股定理,得EN = $\sqrt{CE² - CN²}$ = $\sqrt{6² - 3²}$ = 3√3.
∴ME = MN - EN = 6 - 3√3.
在四边形ABEP中,∠PEB = ∠BAD = 90°,∠ABE = 30°,
∴∠APE = 180° - ∠ABE = 150°,
∴∠MPE = 180° - ∠APE = 30°,
　在Rt△PME中,PE = 2ME = 12 - 6√3,
∴AP = PE = 12 - 6√3;
②如图
(2),当CE = CD,且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于点N,交AD于点M，
　　
　易知,△BCE为等边三角形，
　同理可得EN = 3√3,
∴ME = MN + EN = 6 + 3√3.
　在四边形ABEP中，
∵∠A = ∠BEP = 90°,∠ABE = ∠ABC + ∠EBC = 150°,
∴∠APE = 30°,
∴在Rt△PME中,PE = 2ME = 12 + 6√3,
∴AP = PE = 12 + 6√3;
③当CE = DE时，过点E作EH⊥CD于点H,HE的延长线交AB于点T，如图
(3)所示.
∴DH = CH,
∴HT是CD的垂直平分线，
∴HT是正方形ABCD的一条对称轴,
∴AE = BE.
　由折叠,可得AB = BE = AE = 6,
　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE = 60°,
∴∠PBA = ∠PBE = 30°.
　在Rt△ABP中，BP = 2AP，由勾股定理，得AB = $\sqrt{BP² - AP²}$ = √3AP,
∴AP = $\frac{\sqrt{3}}{3}$AB = $\frac{\sqrt{3}}{3}$×6 = 2√3.
　综上所述，当△CDE是等腰三角形时，AP的值为12 - 6√3或12 + 6√3或2√3.

6. （邯郸第十中学模拟）在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 100°$，$\angle ABC = 3\angle ACB$，点 $D$ 在直线 $AB$ 上，$AD = AC$，则 $\angle BCD$ 的度数是（ ）。

A.$20°$
B.$20°$ 或 $70°$
C.$40°$ 或 $70°$
D.$70°$

答案：
6.B　[解析]
∵∠BAC = 100°,
∴∠ACB + ∠ABC = 180° - ∠BAC = 80°.
∵∠ABC = 3∠ACB,
∴∠ACB = 20°,∠ABC = 60°.
　分两种情况进行讨论:
　①如图
(1),当点D在BA的延长线上时，
　　
∵∠BAC是△ACD的一个外角,∠BAC = ∠D + ∠ACD = 100°,AD = AC,
∴△ADC是等腰三角形,
∴∠D = ∠ACD = 50°.
∵∠ACB = 20°,
∴∠BCD = ∠ACD + ∠ACB = 70°;
　②如图
(2)，当点D在AB的延长线上时，
∵∠BAC = 100°,AD = AC,
∴∠ACD = $\frac{180° - ∠BAC}{2}$ = 40°.
∵∠ACB = 20°,
∴∠BCD = ∠ACD - ∠ACB = 20°.
　综上所述，∠BCD的度数是20°或70°.故选B.

7. 如图，$\triangle ABC$，点 $P$ 为 $\triangle ABC$ 外一点（点 $P$ 不在直线 $AB$，$BC$，$AC$ 上），连接 $PB$，$PC$。若 $\angle PBA = \alpha$，$\angle PCA = \beta$，$\angle BAC = \gamma$，对于以下情况，
① $\alpha + \gamma - \beta$；② $\alpha - \beta - \gamma$；③ $\beta - \alpha - \gamma$；④ $360° - \alpha - \beta - \gamma$。
则 $\angle BPC$ 的度数可能是（ ）。

A.①④
B.②③④
C.①②③
D.①②③④

答案：
7.D　[解析]如图
(1),∠P + ∠PDB + α = ∠ADC + β + γ.
∵∠PDB = ∠ADC,
∴∠P + α = β + γ,
∴∠P = β + γ - α;
　　 　　
　如图
(2),在四边形ABPC中,α + β + γ + ∠P = 360°,
∴∠P = 360° - α - β - γ;
　如图
(3),α + γ + ∠ADB = ∠P + β + ∠PDC.
∵∠ADB = ∠PDC,
∴α + γ = ∠P + β,
∴∠P = α + γ - β;
　 　　 如图
(4),延长CA交PB于点D.
∵∠BDA是△PCD的外角，
∴∠BDA = ∠P + β.
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴γ = α + ∠BDA = α + β + ∠P,
∴∠P = γ - α - β;
　如图
(5),延长CB.
∵∠1是△BCP的外角，
∴∠1 = ∠4 + ∠BPC,
　同理,∠2 = ∠3 + ∠BAC,
∴∠1 + ∠2 = α,∠3 + ∠4 = β,∠BAC = γ,
∴α = β + γ + ∠BPC,
∴∠BPC = α - β - γ;
　　
如图
(6),延长BC.
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠3 = ∠1 + ∠BAC,
　同理,∠4 = ∠2 + ∠BPC,
∴∠3 + ∠4 = β,∠1 + ∠2 = α,∠BAC = γ,
∴β = α + γ + ∠BPC,
∴∠BPC = β - α - γ;
　　
　综上，①②③④都正确.故选D.

8. 已知在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，$AC = 6$，$BC = 8$，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点 $D$，折痕交另一直角边于点 $E$，交斜边于点 $F$，则 $DE$ 的长为__________。

答案：
8.$\frac{73}{16}$或$\frac{13}{3}$　[解析]①如图
(1),将∠B沿EF折叠，点B与AC的中点D重合.
　设CE = m,则BE = DE = 8 - m,
　在Rt△CDE中,CE² + CD² = DE²,
∴m² + 3² = (8 - m)²,解得m = $\frac{55}{16}$,
∴CE = $\frac{55}{16}$,
∴DE = BE = 8 - $\frac{55}{16}$ = $\frac{73}{16}$;
　　
②如图
(2),将∠A沿EF折叠，点A与BC的中点D重合，
　设CE = n,则AE = DE = 6 - n,
　在Rt△CDE中,CE² + CD² = DE²,
∴n² + 4² = (6 - n)²,解得n = $\frac{5}{3}$,
∴CE = $\frac{5}{3}$,
∴DE = AE = 6 - $\frac{5}{3}$ = $\frac{13}{3}$.
　综上所述，DE的长是$\frac{73}{16}$或$\frac{13}{3}$.

9. 如图，已知矩形纸片 $ABCD$ 的两边长分别为 $AB = 6$，$AD = 8$，点 $P$ 是边 $AD$ 上的动点，将纸片沿直线 $BP$ 折叠，点 $A$ 落到 $A'$ 处，设 $AP = x$，当点 $A'$ 恰好在矩形纸片的对称轴上时，则 $x$ 的值为____________。

答案：
9.2√3或9 - 3√5　[解析]①如图
(1),当点A'落在矩形的对称轴MN上时，
　易知∠BA'M = 30°,
∴∠ABP = ∠A'BP = 30°,
∴PA = 2√3;
　　　　 　　
②如图
(2)中，当点A'落在矩形的对称轴EF上时，
∵AB = A'B = 6,BF = $\frac{1}{2}$BC = 4,
∴在Rt△A'BF中,A'F = $\sqrt{6² - 4²}$ = 2√5.
　在Rt△PEA'中,
∵A'P² = PE² + A'E²,
∴x² = (4 - x)² + (6 - 2√5)²,
∴x = 9 - 3√5;
③如图
(3)中,当点A'在BC的下方时，
　同理可得A'F = 2√5,PE = x - 4,
　　　　　　　　　　　　　
∴A'E = 6 + 2√5,
∴在Rt△PEA'中,由勾股定理,得A'P = $\sqrt{A'E² + EP²}$,
∴x² = (x - 4)² + (6 + 2√5)²,
∴x = 9 + 3√5(不符合题意，舍去).
　综上所述，x的值为2√3或9 - 3√5.

10. 如图，在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle B = 50°$，$D$ 为 $BC$ 的中点，点 $E$ 在 $AB$ 上，$\angle AED = 70°$，若点 $P$ 是等腰三角形 $ABC$ 的腰上的一点，则当 $\triangle DEP$ 是以 $\angle EDP$ 为顶角的等腰三角形时，$\angle EDP$ 的度数是____________。

答案：
10.40°或100°或140°　[解析]
∵AB = AC,∠B = 50°,∠AED = 70°,
∴∠EDB = 20°.
　　　　　　　　　　　　　　
①当点P在AB上时，
∵DE = DP₁,
∴∠DP₁E = ∠AED = 70°,
∴∠EDP₁ = 180° - 70° - 70° = 40°;
②当点P在AC上，
∵AB = AC,D为BC的中点，
∴∠BAD = ∠CAD,过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,
∴DG = DH.
　在Rt△DEG与Rt△DP₂H中,{DE = DP₂,DG = DH,
∴Rt△DEG≌Rt△DP₂H(HL),
∴∠AP₂D = ∠AED = 70°.
∵∠BAC = 180° - 50° - 50° = 80°,
∴∠EDP₂ = 360° - ∠BAC - ∠AED - ∠AP₂D = 140°.
③当点P在AC上，
　同理证得Rt△DEG≌Rt△DP₃H(HL),
∴∠EDG = ∠P₃DH,
∴∠EDP₃ = ∠GDH = 100°.
　综上所述，∠EDP的度数为40°或100°或140°.