《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 分类讨论思想 如图,已知抛物线$ y = -\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 2 $与$ x $轴交于$ A $,$ B $两点,与$ y $轴交于点$ C $.
(1)求点$ A $,$ B $,$ C $的坐标.
(2)此抛物线的对称轴上是否存在点$ M $,使得$ \triangle ACM $是等腰三角形? 若存在,请求出点$ M $的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：

(1)令$y = 0$得$-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x + 2 = 0$，
$x^{2}+2x - 8 = 0$，$x = -4$或$x = 2$，
$\therefore$点$A$的坐标$(2,0)$，点$B$的坐标$(-4,0)$。
令$x = 0$，得$y = 2$，$\therefore$点$C$的坐标$(0,2)$。
(2)如图，①当$C$为等腰三角形的顶角的顶点时，$CM_{1}=CA$，$CM_{2}=CA$，作$M_{1}N\perp OC$于$N$，在$Rt\triangle CM_{1}N$中，
$CN = \sqrt{CM_{1}^{2}-M_{1}N^{2}}=\sqrt{7}$，
$\therefore$点$M_{1}$的坐标为$(-1,2 + \sqrt{7})$，
点$M_{2}$的坐标为$(-1,2 - \sqrt{7})$。
②当$M_{3}$为等腰三角形的顶角的顶点时
$\because$直线$AC$的解析式为$y = -x + 2$，
$\therefore$线段$AC$的垂直平分线为$y = x$，与对称轴的交点为$M_{3}(-1,-1)$，
$\therefore$点$M_{3}$的坐标为$(-1,-1)$。
③以点$A$为顶点的等腰三角形不存在
综上所述，点$M$坐标为$(-1,-1)$或$(-1,2 + \sqrt{7})$或$(-1,2 - \sqrt{7})$。

3. 函数思想 如图(1),抛物线$ y = x^2 + bx + c $交$ x $轴于点$ A(-5,0) $和点$ B $,交$ y $轴于点$ C(0, -5) $.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图(2),若点$ P $是线段$ AC $上的一动点,作$ PQ \perp x $轴,交抛物线于点$ Q $,当$ PQ $最大时,在抛物线对称轴上找一点$ M $,使$ QM + AM $的值最小,求出此时点$ M $的坐标.
(3)若点$ P $在直线$ AC $上的运动过程中,是否存在点$ P $,使$ \triangle ABP $为等腰三角形? 若存在,直接写出点$ P $的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$\because$抛物线$y = x^{2}+bx + c$交$y$轴于点$C(0,-5)$，
则$c = -5$，
再把$A(-5,0)$代入抛物线，则$0 = 25 - 5b - 5$，解得$b = 4$，
故抛物线的函数解析式为$y = x^{2}+4x - 5$。
(2)由点$A(-5,0)$和点$C(0,-5)$易知直线$AC$的解析式为$y = -x - 5$。
设$P(m,-m - 5)$，则$Q(m,m^{2}+4m - 5)$，
故$PQ = -m - 5-(m^{2}+4m - 5)= -m^{2}-5m = -(m+\frac{5}{2})^{2}+\frac{25}{4}$。
则当$m = -\frac{5}{2}$时，$PQ$最大为$\frac{25}{4}$，此时$Q(-\frac{5}{2},-\frac{35}{4})$。
$\because$抛物线$y = x^{2}+4x - 5$与$x$轴交于$A$，$B$两点，对称轴为直线$x = -\frac{4}{2× 1}=-2$，$A(-5,0)$，$\therefore B(1,0)$。
设直线$BQ$的解析式为$y = kx + n$，代入$B$，$Q$两点坐标，得$\begin{cases}-\frac{5}{2}k + n = -\frac{35}{4}\\k + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{5}{2}\\n = -\frac{5}{2}\end{cases}$。
$\therefore$直线$BQ$的解析式为$y = \frac{5}{2}x-\frac{5}{2}$。
$\because M$为抛物线对称轴上一点，$\therefore AM = BM$，
$\therefore AM + QM = BM + QM\geqslant BQ$，
$\therefore$当$B$，$M$，$Q$三点共线时，$BM + QM$有最小值，为$BQ$。
$\because$抛物线的对称轴为直线$x = -2$，$\therefore$把$x = -2$代入$y = \frac{5}{2}x-\frac{5}{2}$，得$y = -\frac{15}{2}$，故点$M$坐标为$(-2,-\frac{15}{2})$。
(3)存在，理由如下:
设$P(t,-t - 5)$，$\because A(-5,0)$，$B(1,0)$，$\therefore AB^{2}=36$，
$AP^{2}=2(t + 5)^{2}=2t^{2}+20t + 50$，$BP^{2}=(t - 1)^{2}+(t + 5)^{2}=2t^{2}+8t + 26$，
①当$AB = AP$时，则$36 = 2t^{2}+20t + 50$，得$t^{2}+10t + 7 = 0$，解得$t = -5\pm 3\sqrt{2}$，
故点$P$坐标为$(-5 - 3\sqrt{2},3\sqrt{2})$或$(-5 + 3\sqrt{2},-3\sqrt{2})$；
②当$AB = BP$时，则$36 = 2t^{2}+8t + 26$，得$t^{2}+4t - 5 = 0$，
解得$t = -5$（舍去）或$1$，
当$t = -5$时，点$P$与点$A$重合
故点$P$的坐标为$(1,-6)$；
③当$PA = PB$时，即$PA^{2}=PB^{2}$，则$2t^{2}+20t + 50 = 2t^{2}+8t + 26$，得$t = -2$，代入$y = -x - 5$中得$y = -3$，则点$P$的坐标为$(-2,-3)$。
综上所述，点$P$的坐标为$(-5 - 3\sqrt{2},3\sqrt{2})$或$(-5 + 3\sqrt{2},-3\sqrt{2})$或$(1,-6)$或$(-2,-3)$。

4. 如图,直线$ y = x - 2 $与抛物线$ y = ax^2 + bx + 2(a \neq 0) $相交于点$ A(1, -1) $和点$ B(m, 2) $.
(1)求抛物线的解析式.
(2)$ C $是线段$ AB $上的动点,过点$ C $作$ CD \perp x $轴,交抛物线于点$ D $.是否存在这样的点$ C $,使线段$ CD $的长有最大值? 若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
(3)$ x $轴上是否存在点$ M $,使得$ \triangle ABM $为等腰三角形? 若存在,求出点$ M $的坐标;若不存在,请说明理由.

答案见$ \boldsymbol{P69} $

答案：

(1)把$B(m,2)$代入$y = x - 2$，得$m - 2 = 2$，解得$m = 4$，
把$A(1,-1)$和$B(4,2)$代入$y = ax^{2}+bx + 2$，得$\begin{cases}a + b + 2 = -1\\16a + 4b + 2 = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -4\end{cases}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}-4x + 2$。
(2)设$C(t,t - 2)$，则$D(t,t^{2}-4t + 2)$，如图所示，
$\therefore CD = t - 2-(t^{2}-4t + 2)= -t^{2}+5t - 4 = -(t-\frac{5}{2})^{2}+\frac{9}{4}$。
$\because -1 ＜ 0$，$1\leqslant t\leqslant 4$，$\therefore$存在点$C$，使线段$CD$的长有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。

(3)$x$轴上存在点$M$，使得$\triangle ABM$为等腰三角形.理由如下:
设$M(m,0)$，$\because A(1,-1)$，$B(4,2)$，
$\therefore AB^{2}=(1 - 4)^{2}+(-1 - 2)^{2}=18$，
$AM^{2}=(1 - m)^{2}+(-1 - 0)^{2}=m^{2}-2m + 2$，$BM^{2}=(m - 4)^{2}+(0 - 2)^{2}=m^{2}-8m + 20$。
当$AB = AM$时，$m^{2}-2m + 2 = 18$，
解得$m_{1}=1 + \sqrt{17}$，$m_{2}=1 - \sqrt{17}$，
$\therefore M_{1}(1 + \sqrt{17},0)$，$M_{2}(1 - \sqrt{17},0)$；
当$BM = AB$时，$m^{2}-8m + 20 = 18$，
解得$m_{3}=4 - \sqrt{14}$，$m_{4}=4 + \sqrt{14}$，
$\therefore M_{3}(4 - \sqrt{14},0)$，$M_{4}(4 + \sqrt{14},0)$；
当$AM = BM$时，即$AM^{2}=BM^{2}$，$\therefore m^{2}-2m + 2 = m^{2}-8m + 20$，解得$m_{5}=3$，$\therefore M_{5}(3,0)$。
综上所述，$x$轴上存在点$M$，使得$\triangle ABM$为等腰三角形，点$M$的坐标为$(1 + \sqrt{17},0)$或$(1 - \sqrt{17},0)$或$(4 - \sqrt{14},0)$或$(4 + \sqrt{14},0)$或$(3,0)$。