《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 二次函数$ y = x^2 - 4mx + 5 $($ m $为常数)。
(1) 当$ m = 1 $时，
① 这个二次函数图象的对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,1)；
② 若点$ (b,5) $在这个抛物线上，求出$ b $的值；
③ 当$ 0 \leq x \leq 3 $时，求这个二次函数的最大值和最小值。
(2) 过点$ C(0,2) $作直线$ l \perp y $轴，当直线$ l $与抛物线有一个公共点时，求$ m $的值。

答案： 1.
(1)①直线x = 2　(2,1)　[解析]当m = 1时，y = x² - 4x + 5，
∵y = x² - 4x + 5 = (x - 2)² + 1，
∴对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,1).
　②把(b,5)代入y = x² - 4x + 5，得5 = b² - 4b + 5，
　解得b = 0或b = 4.
　③
∵抛物线的对称轴为直线x = 2，且抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大.
∵0≤x≤3，
∴当x = 0，函数最大值为5;当x = 2时，函数最小值为1.
(2)
∵y = x² - 4mx + 5 = (x - 2m)² + 5 - 4m²，
∴顶点坐标为(2m,5 - 4m²).
∵过点C(0,2)作直线l⊥y轴，且直线l与抛物线有一个公共点，
∴5 - 4m² = 2，
∴m = ±$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. 已知抛物线$ y = ax^2 - 4ax + 3a - 2 $（$ a $为常数，且$ a \neq 0 $）。
(1) 若抛物线与$ y $轴交于点$ A(0,-5) $，求抛物线的解析式；
(2) 在(1)的条件下，将抛物线向上平移5个单位长度，得到新的抛物线，在新的抛物线上有两点$ B(x_1,y_1) $，$ C(x_2,y_2) $，当$ x_2 = 5 $时，有$ y_1 ＜ y_2 $，求$ x_1 $的取值范围；
(3) 已知点$ M(2,3) $，点$ N(6,1) $，连接$ MN $。当$ a ＞ 0 $时，若线段$ MN $与抛物线有公共点，直接写出$ a $的取值范围。

答案：
(1)将点A(0,-5)代入y = ax² - 4ax + 3a - 2，
∴3a - 2 = -5，解得a = -1，
∴y = -x² + 4x - 5.
(2)平移后的函数解析式为y = -x² + 4x.
∵C(5,y₂)，
∴y₂ = -25 + 20 = -5.
∵y₁＜y₂，
∴ -x² + 4x₁＜ -5，解得x₁＞5或x₁＜ -1.
(3)y = ax² - 4ax + 3a - 2的对称轴为直线x = 2，顶点为(2,-a - 2).
∵a＞0，
∴ -a - 2＜0，
∴点M始终在抛物线内部，当点N在抛物线上时，
　36a - 24a + 3a - 2 = 1，解得a = $\frac{1}{5}$，
∴a≥$\frac{1}{5}$时，线段MN与抛物线有公共点.