《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (天津期中)如图,四边形$ABCD$是正方形,点$G$是边$BC$上任意一点,$DE\perp AG$于点$E$,$BF// DE$且交$AG$于点$F$.
(1)求证:$AE = BF$;
(2)如图(1),连接$DF$,$CE$,探究线段$DF$与$CE$的关系并证明;
(3)如图(2),若$AB = \sqrt{6}$,$G$为$CB$的中点,连接$CF$,直接写出四边形$CDEF$的面积.

思路分步拆解
(1)可根据三角形全等证明线段相等,利用已知条件证得$\triangle AFB\cong\triangle $$$,根据全等三角形对应边相等可得$$_________$$.
(2)(第一步:证明$\triangle FAD\cong\triangle EDC$)猜想线段$DF$与$CE$的数量和位置关系,利用$$_________$$证得$\triangle FAD\cong\triangle EDC$;
(第二步:根据全等得到边相等和角相等)根据全等三角形的性质可得$DF = $_________$$,$\angle ADF = $_________$$,再根据$\angle ADF + \angle CDF = 90°$得到$\angle DCE + \angle CDF = 90°$,从而得到$DF $_________$ CE$.
(3)(第一步:求$BG$和$AG$的长)根据中点定义得到$BG = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AB = $_________$$,根据勾股定理得到$AG = \sqrt{AB^2 + BG^2} = $_________$$;
(第二步:求$BF$和$AF$的长)根据等面积法求得$BF = $_________$$,根据$$_________$$求得$AF = $_________$$;
(第三步:求四边形$CDEF$的面积)结合(2)中结论直接利用面积公式求得四边形$CDEF$的面积.

答案： 解:
(1)
∵DE⊥AG于点E,BF//DE且交AG于点F，
∴BF⊥AG于点F,
∴∠AED=∠BFA=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAF+∠EAD=90°.
∵∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠BAF=∠ADE.
在△AFB和△DEA中，$\begin{cases}∠AED=∠BFA,\\ ∠BAF=∠ADE,\\ AB=DA,\end{cases}$
∴△AFB≌△DEA(AAS),
∴AE=BF.
(2)DF=CE且DF⊥CE.理由如下：
⇒题目未说明位置关系或数量关系时，2种都需要考虑到
∵∠FAD+∠ADE=90°,∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,
∴∠FAD=∠EDC.
∵△AFB≌△DEA,
∴AF=DE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD.
在△FAD和△EDC中，$\begin{cases}AF=DE,\\ ∠FAD=∠EDC,\\ AD=CD,\end{cases}$
∴△FAD≌△EDC(SAS),
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE.
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°,
∴∠DCE+∠CDF=90°,
∴DF⊥CE.
(3)连接DF,CE.
∵AB=$\sqrt{6}$,G为CB的中点，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
由勾股定理,得AG=$\sqrt{AB^{2}+BG^{2}}$=$\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$.
∵$S_{△ABG}$=$\frac{1}{2}$AG·BF=$\frac{1}{2}$AB·BG,
⇒求线段长度时，除了全等、勾股定理、相似，有时也会用到等面积法
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{30}}{2}$×BF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$,解得BF=$\frac{\sqrt{30}}{5}$.
由勾股定理,得AF=$\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}$=$\sqrt{(\sqrt{6})^{2}-(\frac{\sqrt{30}}{5})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$.
∵△AFB≌△DEA,
∴AE=BF=$\frac{\sqrt{30}}{5}$,
∴AE=EF=$\frac{\sqrt{30}}{5}$,
∴DE垂直平分线段AF，
∴DF=AD=$\sqrt{6}$.
由
(2)知,DF=CE且DF⊥CE,
∴四边形CDEF的面积=$\frac{1}{2}$DF·CE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$=3.
一题多解　
(3)由
(1)知△AFB≌△DEA,
∴$S_{△AFB}$=$S_{△DEA}$.
∵FG为△BCF的中线,
∴$S_{△FBC}$=$S_{△FGC}$,
∴$S_{四边形CDEF}$=$(\sqrt{6})^{2}$-2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$=6 - 3=3.