《2025年实验班中考数学压轴题》

1. (邵阳中考)已知$P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$是抛物线$y = ax^2 + 4ax + 3$($a$是常数，$a \neq 0$)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线$x = -2$；②点$(0, 3)$在抛物线上；③若$x_1 ＞ x_2 ＞ -2$，则$y_1 ＞ y_2$；④若$y_1 = y_2$，则$x_1 + x_2 = -2$。其中，正确结论的个数为(B)。

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 1.B　[解析]抛物线$y = ax^2 + 4ax + 3$的对称轴为直线$x = -\frac{4a}{2a} = -2$，$\therefore$①正确；当$x = 0$时，$y = 3$，则点$(0,3)$在抛物线上，$\therefore$②正确；当$a ＞ 0$时，$x_1 ＞ x_2 ＞ -2$，则$y_1 ＞ y_2$；当$a ＜ 0$时，$x_1 ＞ x_2 ＞ -2$，则$y_1 ＜ y_2$，$\therefore$③错误；当$y_1 = y_2$，则$x_1 + x_2 = -4$，$\therefore$④错误，故正确的有2个。故选B。

2. (陕西中考)已知一个二次函数$y = ax^2 + bx + c$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值如下表：

则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)。

A.图象的开口向上
B.当$x ＞ 0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x = 1$

答案： 2.D　[解析]由题知，$\begin{cases}4a - 2b + c = -8\\9a + 3b + c = -3\\c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\\c = 0\end{cases}$，所以二次函数的解析式为$y = -x^2 + 2x$。因为$a = -1 ＜ 0$，所以抛物线的开口向下，故A选项不符合题意；因为$y = -x^2 + 2x = -(x - 1)^2 + 1$，所以当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，故B选项不符合题意；令$y = 0$，得$-x^2 + 2x = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$，所以抛物线与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$和$(2,0)$。因为抛物线的顶点坐标为$(1,1)$，所以抛物线经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意；因为二次函数解析式为$y = -(x - 1)^2 + 1$，所以抛物线的对称轴为直线$x = 1$。故D选项符合题意。故选D。

3. (凉山州中考)二次函数$y = ax^2 + bx + c$的部分图象如图所示，其对称轴为$x = 2$，且图象经过点$(6, 0)$，则下列结论错误的是(D)。

A.$bc ＞ 0$
B.$4a + b = 0$
C.若$ax_1^2 + bx_1 = ax_2^2 + bx_2$且$x_1 \neq x_2$，则$x_1 + x_2 = 4$
D.若$(-1, y_1)$，$(3, y_2)$两点都在抛物线$y = ax^2 + bx + c$的图象上，则$y_2 ＜ y_1$

答案： 3.D[解析]由图象可知，抛物线的开口向下，与$y$轴交于正半轴，$\therefore a ＜ 0$，$c ＞ 0$。
$\because$对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = 2$，$\therefore b = -4a ＞ 0$，
$\therefore bc ＞ 0$，$4a + b = 0$，故选项A，B正确，不符合题意；
$\because ax_1^2 + bx_1 = ax_2^2 + bx_2$且$x_1 \neq x_2$，
$\therefore ax_1^2 + bx_1 + c = ax_2^2 + bx_2 + c$，
$\therefore x = x_1$和$x = x_2$关于对称轴直线$x = 2$对称，
$\therefore x_1 + x_2 = 4$，故选项C正确，不符合题意；
$\because$抛物线的开口向下，
$\therefore$抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小。
若$(-1,y_1)$，$(3,y_2)$两点都在抛物线$y = ax^2 + bx + c$的图象上，$\because |-1 - 2| ＞ |3 - 2|$，
$\therefore y_1 ＜ y_2$，故选项D错误，符合题意。故选D。

4. 如图，两条抛物线$y_1 = -\frac{1}{3}x^2 + 1$与$y_2 = -\frac{1}{3}x^2 - 1$分别经过点$(-3, 0)$，$(3, 0)$且与平行于$y$轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(D)。

A.$6$
B.$8$
C.$9$
D.$12$

答案：
4.D[解析]如图，在$y_1 = -\frac{1}{3}x^2 + 1$，$y_2 = -\frac{1}{3}x^2 - 1$中，当$x = 3$时，$y_1 = -\frac{1}{3} × 3^2 + 1 = -2$，$y_2 = -\frac{1}{3} × 3^2 - 1 = -4$，在$y_1 = -\frac{1}{3}x^2 + 1$，$y_2 = -\frac{1}{3}x^2 - 1$中，当$x = -3$时，$y_1 = -\frac{1}{3} × (-3)^2 + 1 = -2$，$y_2 = -\frac{1}{3} × (-3)^2 - 1 = -4$，$\therefore A(-3,-2)$，$B(-3,-4)$，$C(3,-2)$，$D(3,-4)$。$\because$抛物线$y_1 = -\frac{1}{3}x^2 + 1$是抛物线$y_2 = -\frac{1}{3}x^2 - 1$向上平移2个单位长度得到的，$\therefore a$，$b$的值相等，仅$c$值不同，可看作将抛物线沿$y$轴方向平移，且点$A$和点$B$的纵坐标的差值为2，$\therefore$阴影部分的面积即为图中长方形$ABDC$的面积，$\therefore S_{阴影} = [3 - (-3)] × [-2 - (-4)] = 12$。故选D。
　　　　　　　

5. (西宁中考)点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$是抛物线$y = ax^2 - 4ax + 1$($a$是常数，且$a ＞ 0$)上的两个点。下列结论：
①抛物线与$y$轴的交点是$(0, 1)$；
②抛物线的对称轴是直线$x = -2$；
③当$y_1 = y_2 = 1$时，$AB = 4$；
④当$x_1 ＞ x_2 ＞ 2$时，$y_1 ＜ y_2$；
⑤当$0 \leq x \leq 2$时，$y$有最大值是$1$。
其中正确结论的个数是(C)。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 5.C[解析]$\because$抛物线$y = ax^2 - 4ax + 1$（$a$是常数，且$a ＞ 0$），当$x = 0$时，$y = 1$，$\therefore$抛物线与$y$轴的交点是$(0,1)$，故结论①正确，符合题意；$\because$抛物线的对称轴为$x = -\frac{-4a}{2a} = 2$，故结论②错误，不符合题意；$\because$点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是抛物线上的两个点，$y_1 = y_2 = 1$，$\therefore A$，$B$两点关于对称轴对称，$\therefore \frac{x_1 + x_2}{2} = 2$，$\therefore |x_1 + x_2| = 4$，且其中一个等于0，另一个等于4，$\therefore AB = 4$，故结论③正确，符合题意；$\because$抛物线$y = ax^2 - 4ax + 1$（$a ＞ 0$），$\therefore$抛物线的开口向上，$\therefore$在对称轴的右侧的函数图象，$y$随$x$的增大而增大。$\because x_1 ＞ x_2 ＞ 2$，$\therefore A$，$B$两点位于对称轴的右侧，$\therefore y_1 ＞ y_2$，故结论④错误，不符合题意；$\because$当$0 \leq x \leq 2$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$当$x = 0$时，$y$有最大值，最大值为1，故结论⑤正确，符合题意。综上所述，正确的结论为①③⑤，故选C。

6. (泸州中考)已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，与$y$轴的交点位于$x$轴下方，且当$x = -1$时，$y ＞ 0$，下列结论正确的是(D)。

A.$2a = b$
B.$b^2 - 4ac ＜ 0$
C.$a - 2b + 4c ＜ 0$
D.$8a + c ＞ 0$

答案： 6.D[解析]$\because$抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，$\therefore -\frac{b}{2a} = 1$，$\therefore b = -2a$，故A选项中原结论错误，不符合题意；
$\because$抛物线与$y$轴的交点位于$x$轴下方，
$\therefore$当$x = 0$时，$y ＜ 0$。当$x = -1$时，$y ＞ 0$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的一个交点一定在直线$x = -1$和$y$轴之间，
$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点一定在直线$x = 2$和直线$x = 3$之间，
根据抛物线的对称性得到，
$\therefore$抛物线与$x$轴有两个不同的交点，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个不相同的实数根，
$\therefore b^2 - 4ac ＞ 0$，故B选项中原结论错误，不符合题意；
$\because$当$x = 0$时，$y ＜ 0$，且当$x = -1$时，$y ＞ 0$，且对称轴为$x = 1$，$\therefore$抛物线开口向上。
$\therefore$当$x = -2$时，$y = 4a - 2b + c ＞ 0$，
$\therefore 4a + 2 · 2a + c ＞ 0$，即$8a + c ＞ 0$，故D选项中原结论正确，符合题意；
$\because$二次函数与$x$轴的左交点在$-1$和0之间，
$\therefore$当$x = -\frac{1}{2}$时不确定对应的$y$值的符号，
故C选项中原结论不正确，不符合题意。故选D。

7. (武汉模拟)已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$($a$，$b$，$c$是常数，$0 ＜ a ＜ c$)经过点$(-1, 0)$，下列结论：
①$b ＞ 0$；
②关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个不相等的实数根；
③当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而减小；
④$m$为任意实数，若$c = 3a$，则代数式$am^2 + bm + c$的最小值是$-a$。
其中正确的是$$①②④$$(填写序号)。

答案： 7.①②④　[解析]$\because$抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过点$(-1,0)$，$\therefore a - b + c = 0$，$\therefore b = a + c$。$\because a$，$b$，$c$是常数，$0 ＜ a ＜ c$，$b ＞ 0$，$\therefore$①的结论正确；令$y = 0$，则$ax^2 + bx + c = 0$。
$\because b = a + c$，$\therefore ax^2 + (a + c)x + c = 0$。$\because \Delta = (a + c)^2 - 4ac = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2$，且$c ＞ a ＞ 0$，$\therefore \Delta ＞ 0$，$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore$②的结论正确；$\because c ＞ 0$，$b ＞ 0$，$\therefore$抛物线$y = ax^2 + bx + c$的开口方向向上，对称轴在$y$轴的左侧，抛物线与$y$轴交于$y$轴的正半轴，$\therefore$当点$(-1,0)$在对称轴的左侧时，当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而减小，当点$(-1,0)$在对称轴的右侧时，当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的变化而变化是不确定的，$\therefore$③的结论不正确；
$\because b = a + c$，$c = 3a$，$\therefore b = 4a$，$\therefore$代数式$am^2 + bm + c = am^2 + 4am + 3a = a(m + 2)^2 - a$。$\because a ＞ 0$，$\therefore$当$m = -2$时，代数式$am^2 + bm + c$有最小值为$-a$，$\therefore$④的结论正确。综上，正确的是①②④。