《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (重庆巴蜀中学二模)已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 3x - 1 = 0 $，下列结论不正确的个数是(B).
①当$ x = 2 $或$ -5 $时，代数式$ x^2 + 3x - 1 $的值是一个完全平方数；
②无论$ x $为任何数，代数式$ x^2 + 3x - 1 $的值大于$ x - 2 $的值；
③关于$ x $的函数$ y = x^2 + 3x - 1 $的图象与$ x $轴两交点间的距离为$ \sqrt{13} $；
④代数式$ x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x + 2025 $的值等于$ 2023 $.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
思路分步拆解
(第一步:将$ x $的值代入代数式,判断①的结论是否正确)①将$ x = 2 $或$ -5 $代入$ x^2 + 3x - 1 $,判断代数式$ x^2 + 3x - 1 $的值是一个完全平方数；
(第二步:运用作差比较法和配方法判断②的结论是否正确)②运用作差比较法计算$ x^2 + 3x - 1 - (x - 2) = $x²+2x+1$ $，然后利用配方法进行判断；
(第三步:利用两根之间的距离公式计算,判断③的结论是否正确)③利用两根之间的距离公式计算图象与$ x $轴两交点间的距离即可判断；
(第四步:用整体代入法降次化简判断④的结论是否正确)④将$ x^2 + 3x - 1 = 0 $变形为$ x^2 = 1 - 3x $,代入$ x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x + 2025 $中即可判断；
(第五步:总结结论)总结得出结论中不正确的为②④.

答案： B　[解析]①当x=2时,代数式x²+3x−1=9,为完全平方数，当x=−5时，代数式x²+3x−1=9,也为完全平方数,
∴结论①正确;②x²+3x−1−(x−2)=x²+3x−1−x+2=x²+2x+1=(x+1)²≥0,当x=−1时,两者相等,故结论②中“大于”不成立，结论②错误;③方程x²+3x−1=0的判别式△=3²−4×1×(−1)=13,
∴两根之间的距离为$\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{13}}{1} = \sqrt{13}$，结论③正确;④
∵x²+3x−1=0,
∴x²=1−3x,
∴x⁴+6x³+7x²−6x+2025=(1−3x)²+6x(1−3x)+7(1−3x)−6x+2025=1−6x+9x²+6x−18x²+7−21x−6x+2025=1−6x+9(1−3x)+6x−18(1−3x)+7−21x−6x+2025=1−6x+9−27x+6x−18+54x+7−21x−6x+2025=2024≠2023,
∴结论④错误.综上所述，错误的结论为②④，共2个.故选B