《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 中考新考法 存在性问题探究 如图，二次函数图象与$x$轴交于点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，抛物线的顶点坐标是$(2,9)$，且经过$D(3,8)$。
(1) 求抛物线的函数解析式。
(2) 求$\triangle ABC$的面积。
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在一点$M$，使得$BM + DM$最短？若存在，求出$M$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 1.
(1)
∵抛物线的顶点坐标为(2,9)，
∴设抛物线的解析式为$y = a(x - 2)^2 + 9$。
∵抛物线经过点D(3,8)，
∴$(3 - 2)^2 · a + 9 = 8$，解得a = -1，
∴抛物线的函数解析式为$y = -(x - 2)^2 + 9 = -x^2 + 4x + 5$。
(2)当y = 0时，有$-(x - 2)^2 + 9 = 0$，
解得x = 5或x = -1，
∴A(−1,0)，B(5,0)，
∴AB = 5 + 1 = 6。当x = 0时，有$y = -x^2 + 4x + 5 = 5$，
∴C(0,5)，
∴OC = 5，
∴△ABC的面积 = $\frac{1}{2}$AB·OC = $\frac{1}{2} × 5 × 6 = 15$。
(3)存在，点M的坐标为(2,6)。
∵二次函数$y = -(x - 2)^2 + 9$的对称轴为直线x = 2，
∴点D(3,8)关于对称轴x = 2对称的点的坐标为D'(1,8)，由对称性，得DM = D'M，则BM + DM = BM + D'M，
由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM + DM最短。设直线BD'的函数解析式为$y = kx + b$，把(5,0)，(1,8)代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}0 = 5k + b\\8 = k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 10\end{cases}$，
∴$y = -2x + 10$，当x = 2时，$y = -2 × 2 + 10 = 6$，
∴M(2,6)。

2. 将军饮马模型 如图，已知抛物线$y = -x^2 + bx + c$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
(1) 求该抛物线的解析式。
(2) 连接$AC$，在抛物线的对称轴上是否存在点$P$，使得$\triangle ACP$的周长最小？若存在，求出点$P$的坐标，若不存在，请说明理由。

答案：
2.
(1)把点A(−1,0)，B(3,0)代入$y = -x^2 + bx + c$，得$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$，
∴二次函数解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
(2)抛物线的对称轴上存在点P，使得△ACP的周长最小。理由如下：
连接BC，交抛物线的对称轴于点P，连接AP，如图所示。
∵$y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4$，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1，
∴PA = PB，
∴$C_{\triangle ACP}$ = AC + AP + CP = AC + PB + CP ≥ AC + BC，
∴当B，C，P三点共线时，△ACP的周长有最小值。
　　　　　　　　　　　　　　　
当x = 0时，$y = 3$，
∴C(0,3)。
设直线BC的解析式为$y = kx + m(k ≠ 0)$，把B(3,0)，C(0,3)代入，得$\begin{cases}m = 3\\3k + m = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\m = 3\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为$y = -x + 3$，把x = 1代入，得y = 2，
∴P(1,2)。