《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 实验班原创 如图，$ O $是坐标原点，菱形$ OABC $的顶点$ A $的坐标为$ (-3, 4) $，顶点$ C $在$ x $轴的负半轴上，函数$ y = \frac{k}{x} (x ＜ 0) $的图象经过顶点$ B $，则$ k $的值为(B)。

A.$ -36 $
B.$ -32 $
C.$ -27 $
D.$ -12 $

答案： 1.B [解析]
∵A(−3,4)，
∴$OA = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
∵四边形OABC是菱形，
∴AO = CB = OC = AB = 5，则点B的横坐标为−3 - 5 = −8，故点B的坐标为(−8,4)。将点B的坐标代入$y = \frac{k}{x}$，得$4 = \frac{k}{-8}$，解得k = −32。故选B。

2. (长春模拟)如图，在平面直角坐标系中，点$ A $，$ B $均在函数$ y = \frac{k}{x} (k ＞ 0, x ＞ 0) $的图象上，$ BD \perp x $轴于点$ D $，交线段$ OA $于点$ C $。若$ C $为线段$ OA $的中点，$ \triangle ABC $的面积为$ \frac{3}{4} $，则$ k $的值为(A)。

A.$ 2 $
B.$ \frac{9}{4} $
C.$ \frac{8}{3} $
D.$ 4 $

答案：
2.A [解析]如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，连接OB。
∵点A，B在反比例函数图象上，
∴$S_{\triangle OBD} = S_{\triangle OAE}$，$S_{\triangle BOC} = S_{四边形ACDE}$。

∵C为线段OA的中点，△ABC的面积为$\frac{3}{4}$，
∴$S_{\triangle BOC} = S_{四边形ACDE} = \frac{3}{4}$。
∵CD//AE，
∴△OCD∽△OAE，
∴$\frac{S_{\triangle OCD}}{S_{\triangle OAE}} = \frac{1}{4}$。
设$S_{\triangle OAE} = m$，则$S_{\triangle OCD} = m - \frac{3}{4}$，
∴$\frac{m - \frac{3}{4}}{m} = \frac{1}{4}$，解得m = 1，
∴$S_{\triangle OAE} = 1$，
∴k = 2$S_{\triangle OAE}$ = 2。故选A。

3. (盐城射阳二模)如图，反比例函数$ y = \frac{3}{x} $的图象经过矩形$ OABC $的边$ AB $的中点$ D $，则矩形$ OABC $的面积为$ $6$ $。

答案： 3.6 [解析]
∵$y = \frac{3}{x}$，
∴OA·AD = 3。
∵D是AB的中点，
∴AB = 2AD，
∴矩形OABC的面积 = OA·AB = 2AD·OA = 2×3 = 6。

4. (南京建邺区一模)如图，在矩形$ ABCD $中，点$ A $的坐标是$ (0, -1) $，点$ B $的坐标是$ (2, 0) $，点$ C $在$ y $轴上。若反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象经过点$ D $，则$ k = $−6$ $。

答案：
4.−6 [解析]如图，过点D作DE垂直于y轴，并交y轴于点E，∠CAB + ∠ABO = 90°，∠CAB + ∠ACB = 90°，

∴∠ABO = ∠ACB。在Rt△OAB和Rt△OBC中，∠AOB = ∠BOC，∠ABO = ∠ACB，
∴Rt△OAB∽Rt△OBC，
∴$\frac{AO}{OB} = \frac{OB}{OC}$。
∵OA = 1，OB = 2，
∴OC = 4。
∵DC//AB，
∴∠DCA = ∠CAB。
∵DC = AB，∠DCA = ∠CAB，∠DEC = ∠BOA，
∴△DEC≌△BOA，
∴DE = OB，CE = AO，
∴D点坐标为(−2,3)。
∵点D在反比例函数图象上，
∴$3 = \frac{k}{-2}$，
∴k = −6。

5. (长春绿园区二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形$ OABC $的顶点$ A $，$ B $在双曲线$ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $上，$ BC $与$ x $轴交于点$ D $。若点$ A $的坐标为$ (1, 2) $，则点$ B $的坐标为(B)。

A.$ \left( 3, \frac{2}{3} \right) $
B.$ \left( 4, \frac{1}{2} \right) $
C.$ \left( \frac{9}{2}, \frac{4}{9} \right) $
D.$ \left( 5, \frac{2}{5} \right) $

答案：
5.B [解析]
∵矩形OABC的顶点A，B在双曲线$y = \frac{k}{x}$(x＞0)上，点A的坐标为(1,2)，
∴$2 = \frac{k}{1}$，解得k = 2，
∴双曲线的解析式为$y = \frac{2}{x}$，直线OA的解析式为y = 2x。
∵OA⊥AB，
∴设直线AB的解析式为$y = - \frac{1}{2}x + b$，
∴$2 = - \frac{1}{2}×1 + b$，解得$b = \frac{5}{2}$，
∴直线AB的解析式为$y = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$，将直线AB与反比例函数解析式联立，$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 4 \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$，
∴B(4,$\frac{1}{2}$)。故选B。
一题多解　如图，过点A作AT⊥y轴于点T，过点B作BH⊥AT交TA的延长线于点H，设BH = a。由△OTA∽△AHB，可得$\frac{OT}{AH} = \frac{TA}{HB}$，
∴$\frac{2}{AH} = \frac{1}{a}$，
∴AH = 2a，

∴B(1 + 2a,2 - a)，
∴(2 - a)(1 + 2a) = 2，解得$a = \frac{3}{2}$或0(舍去)，
∴B(4,$\frac{1}{2}$)。

6. (阜新十一中一模)已知点$ A $，$ B $分别在反比例函数$ y = \frac{2}{x} (x ＞ 0) $，$ y = -\frac{8}{x} (x ＞ 0) $的图象上，且$ OA \perp OB $，则$ \tan B $为(B)。

A.$ \frac{1}{\sqrt{2}} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{\sqrt{3}} $
D.$ \frac{1}{3} $

答案：
6.B [解析]如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO = ∠BNO = 90°，
∴∠AOM + ∠OAM = 90°。
∵OA⊥OB，
∴∠AOM + ∠BON = 90°，
∴∠OAM = ∠BON，
∴△AOM∽△OBN。

∵点A，B分别在反比例函数$y = \frac{2}{x}$(x＞0)，$y = - \frac{8}{x}$(x＞0)的图象上，
∴$S_{\triangle AOM}:S_{\triangle BON} = 1:4$，
∴AO:BO = 1:2，
∴$tanB = \frac{1}{2}$。故选B。

7. 如图，$ A $是反比例函数$ y = \frac{k}{x} $图象上一点，$ AB \perp y $轴于点$ B $，$ C $是$ y $轴负半轴上一点，且满足$ OC : OB = 3 : 2 $，连接$ AC $交$ x $轴于点$ D $，若$ S_{\triangle ABC} = 25 $，则$ k = $−20$ $。

答案：
7.−20 [解析]如图，连接AO，
∵OC:OB = 3:2，
∴OB:BC = 2:5，
∴$S_{\triangle ABO} = \frac{2}{5}S_{\triangle ABC}$。
∵$S_{\triangle ABC} = 25$，

∴$S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2}|k| = \frac{2}{5}×25$，
∴k = ±20。
∵点A位于第二象限，
∴k = −20。

8. (孝感中考)如图，$ Rt \triangle AOB $的一条直角边$ OB $在$ x $轴上，双曲线$ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $经过斜边$ OA $的中点$ C $，与另一直角边交于点$ D $。若$ S_{\triangle OCD} = 9 $，则$ S_{\triangle OBD} $的值为$ $6$ $。
答案见$ P10 $

答案：
8.6 [解析]如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E。
∵在Rt△OAB中，∠OBA = 90°，
∴CE//AB。
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点，
∴CE为Rt△OAB的中位线。

∵△OEC∽△OBA，
∴$\frac{OC}{OA} = \frac{1}{2}$。
∵双曲线的解析式是$y = \frac{k}{x}$，即xy = k，
∴$S_{\triangle BOD} = S_{\triangle COE} = \frac{1}{2}|k|$，$S_{\triangle AOB} = 4S_{\triangle COE} = 2|k| = 2k$，由图可得k＞0，可据此去绝对值符号。
由$S_{\triangle AOB} - S_{\triangle BOD} = S_{\triangle AOD} = 2S_{\triangle DOC} = 18$，得$2k - \frac{1}{2}k = 18$，k = 12，
∴$S_{\triangle BOD} = S_{\triangle COE} = \frac{1}{2}k = 6$。