《2025年实验班中考数学压轴题》

[典例] 如图(1)，抛物线$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,3)$，直线$y = x + 1$与抛物线交于$A$，$D$两点。
(1) 求该抛物线的解析式及点$D$的坐标。
(2) 抛物线上是否存在点$P$，使$\angle BAP = \angle CAD$？若存在，求出点$P$的横坐标；若不存在，请说明理由。
(3) 如图(2)，点$M$，$N$是对称轴上的两个动点，且$MN = 1$，点$M$在点$N$的上方，求四边形$ACMN$的周长的最小值。

思路分步拆解
(1) 将点$A$，$B$，$C$的坐标代入$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$得$a = $$$，$c = $$$，可得抛物线解析式。将直线$y = x + 1$与抛物线解析式联立，求解一元二次方程可得点$D$的坐标；
(2) (第一步：构造直角三角形) 连接$BC$交$AD$于点$G$，可得$\angle AGB = $$°$，两直线交点$G$的坐标为$($$,$$)$；
(第二步：利用等角的正切值相等建立方程) 若存在点$P$，使$\angle BAP = \angle CAD$，则$\tan\angle BAP = \tan\angle CAD$，设$P(t, -t^2 + 2t + 3)$，过点$P$作$PH \perp x$轴于点$H$，则$\tan\angle BAP = \tan\angle CAD = \frac{1}{2} = $$$，解方程即可；
(3) 连接$BN$，过点$B$作$BQ // MN$，过点$M$作$MQ // BN$，$BQ$与$MQ$交于点$Q$，四边形$ACMN$的周长$ = AN + MN + CM + AC = AC + MN + MQ + CM \geq AC + MN + CQ$，当$C$，$M$，$Q$三点时，四边形$ACMN$的周长有最小值。

答案：
典例思路分步拆解:
(1)−1　2　3　
(2)90　1　2　$\begin{vmatrix}-t^2 + 2t + 3\\t + 1\end{vmatrix}$　
(3)共线
解:
(1)
∵抛物线$y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，
∴将点A，B，C的坐标分别代入，得$\begin{cases}a - b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\\c = 3\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
∵直线$y = x + 1$与抛物线交于A，D两点，
∴$-x^2 + 2x + 3 = x + 1$，解得$x = 2$或$x = -1$，
∴D(2,3)。
(2)抛物线上存在点P，使∠BAP = ∠CAD。理由如下:
如图
(1)，连接BC交AD于点G。
∵直线$y = x + 1$与直线$y = x$平行，
∴∠DAB = 45°。
∵OC = BO = 3，
∴∠CBA = 45°，
∴∠AGB = 90°。
设直线BC的解析式为$y = kx + 3$，将点B的坐标代入，得3k + 3 = 0，解得k = -1，
∴直线BC的解析式为$y = -x + 3$。
∵直线BC与直线AD相交于点G，联立，得$\begin{cases}y = -x + 3\\y = x + 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$，
∴G(1,2)，
∴CG = $\sqrt{2}$，AG = $2\sqrt{2}$，
∴tan∠CAD = $\frac{1}{2}$。
设P(t，$-t^2 + 2t + 3$)，过点P作PH⊥x轴于点H。
∵∠BAP = ∠CAD，
∴tan∠BAP = $\frac{1}{2}$ = $\frac{\begin{vmatrix}-t^2 + 2t + 3\end{vmatrix}}{t + 1}$，解得$t = \frac{5}{2}$或$t = \frac{7}{2}$或t = -1(不合题意，舍去)。
综上所述，点P的横坐标为$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$。
　　　 　　　
(3)如图
(2)，连接BN，过点B作BQ//MN，过点M作MQ//BN，BQ与MQ交于点Q，
∴四边形MNBQ是平行四边形，
∴BQ = MN，NB = MQ。
∵A，B关于对称轴对称，
∴AN = BN，
∴四边形ACMN的周长 = AN + MN + CM + AC = AC + MN + MQ + CM ≥ AC + MN + CQ，当C，M，Q三点共线时，四边形ACMN的周长有最小值。
∵B(3,0)，MN = 1，
∴Q(3,1)。
∵A(−1,0)，C(0,3)，
∴AC = $\sqrt{10}$，CQ = $\sqrt{13}$，
∴四边形ACMN的周长的最小值为$\sqrt{10} + \sqrt{13} + 1$。