《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 已知二次函数$y = ax^2 - 2ax + 4$,其中$a\neq 0$.
(1)求该二次函数图象的对称轴;
(2)无论$a$取任意非零实数,该二次函数图象都经过$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$两个定点,其中$x_1 ＜ x_2$,求$x_1 + 2x_2$的值;
(3)若$a = 1$,当$t - 1\leqslant x\leqslant t$时,该二次函数的最大值与最小值的差为$2$,求$t$的值.

答案： $(1)\because$二次函数为$y=ax^{2}-2ax+4，$
$\therefore$对称轴是直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1.$
(2)由题意，得$y=ax^{2}-2ax+4=a(x^{2}-2x)+4.$
$\because$无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两个定点，
$\therefore$令$x^{2}-2x=0，$即x=0或x=2，则y=4.又$x_{1}＜x_{2}，$
$\therefore x_{1}=0,x_{2}=2,\therefore x_{1}+2x_{2}=0+2×2=4.$
(3)由题意，得当a=1时，$y=x^{2}-2x+4=(x-1)^{2}+3.$
$\therefore$当x=1时，y取最小值，为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小.
①当$t\leq1$时，当x=t-1时，y取最大值，$y=t^{2}-4t+7；$
当x=t时，y取最小值，$y=t^{2}-2t+4，$
$\therefore t^{2}-4t+7-(t^{2}-2t+4)=2,\therefore t=\frac{1}{2}；$
②当t-1＜1＜t，即1＜t＜2时，当x=1时，y取最小值为3，当x=t-1时，y取最大值，$y=t^{2}-4t+7$或当x=t时，y取最大值，$y=t^{2}-2t+4，$
$\therefore t^{2}-4t+7-3=2$或$t^{2}-2t+4-3=2,\therefore t=2\pm\sqrt{2}($不合题意，舍去)或$t=1\pm\sqrt{2}($不合题意，舍去).
③当$t-1\geq1，$即$t\geq2$时，当x=t-1时，y取最小值，$y=t^{2}-4t+7；$当x=t时，y取最大值，$y=t^{2}-2t+4，$
$\therefore t^{2}-2t+4-(t^{2}-4t+7)=2,\therefore t=\frac{5}{2}.$
综上所述，t的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}.$

4. 实验班原创 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于$x$的二次函数$y_1 = 2x^2 - 4mx + 2m^2 + 1$和$y_2 = ax^2 + bx + 5$,其中$y_1$的图象经过点$A(1,1)$,若$y_1 + y_2$与$y_1$为“同簇二次函数”,求函数$y_2$的解析式,并求出当$0\leqslant x\leqslant 3$时,$y_2$的最大值.

答案：
(1)设顶点为(h,k)的二次函数的解析式为$y=a(x-h)^{2}+k，$当a=2,h=3,k=4时，二次函数的解析式为$y=2(x-3)^{2}+4.\because a=2＞0，$$\therefore$该二次函数图象的开口向上.当a=3,h=3,k=4时，二次函数的解析式为$y=3(x-3)^{2}+4.$
$\because3＞0，$$\therefore$该二次函数图象的开口向上.
$\because$两个函数$y=2(x-3)^{2}+4$与$y=3(x-3)^{2}+4$的顶点相同，开口都向上，$\therefore$两个函数$y=2(x-3)^{2}+4$与$y=3(x-3)^{2}+4$是“同簇二次函数”，
$\therefore$符合要求的两个“同簇二次函数”可以为$y=2(x-3)^{2}+4$与$y=3(x-3)^{2}+4($答案不唯一).
$(2)\because y_{1}$的图象经过点A(1,1)，$\therefore2×1^{2}-4m×1+2m^{2}+1=1，$整理得$m^{2}-2m+1=0，$解得$m_{1}=m_{2}=1，$
$\therefore y_{1}=2x^{2}-4x+3=2(x-1)^{2}+1,\therefore y_{1}+y_{2}=2x^{2}-4x+3+ax^{2}+bx+5=(a+2)x^{2}+(b-4)x+8.$
$\because y_{1}+y_{2}$与$y_{1}$为“同簇二次函数”，
$\therefore y_{1}+y_{2}=(a+2)(x-1)^{2}+1=(a+2)x^{2}-2(a+2)x+(a+2)+1.$其中a+2＞0，即a＞-2，
$\therefore\begin{cases}b-4=-2(a+2)\\8=(a+2)+1\end{cases}$解得$\begin{cases}a=5,\\b=-10.\end{cases}$
$\therefore$函数$y_{2}$的解析式为$y_{2}=5x^{2}-10x+5=5(x-1)^{2}，$
$\therefore$函数$y_{2}$的图象的对称轴为直线x=1.
$\because5＞0，$$\therefore$函数$y_{2}$的图象开口向上.
①当$0\leq x\leq1$时，
$\because$函数$y_{2}$的图象开口向上，$\therefore y_{2}$随x的增大而减小，
$\therefore$当x=0时，$y_{2}$取最大值，最大值为$5×(0-1)^{2}=5；$
②当$1\leq x\leq3$时，
$\because$函数$y_{2}$的图象开口向上，$\therefore y_{2}$随x的增大而增大，
$\therefore$当x=3时，$y_{2}$取最大值，最大值为$5×(3-1)^{2}=20.$
综上所述，当$0\leq x\leq3$时，$y_{2}$的最大值为20.

5. 已知抛物线$y = -x^2 + bx$($b$为常数)的顶点横坐标比抛物线$y = -x^2 + 2x$的顶点横坐标大$1$.
(1)求$b$的值;
(2)点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y = -x^2 + 2x$上,点$B(x_1 + t,y_1 + h)$在抛物线$y = -x^2 + bx$上,若$h = 3t$,且$x_1\geqslant 0$,$t ＞ 0$,求$h$的值.

答案： $(1)\because$抛物线$y=-x^{2}+bx$的顶点横坐标为$\frac{b}{2}，$$y=-x^{2}+2x$的顶点横坐标为$1,\therefore\frac{b}{2}-1=1,\therefore b=4.$
$(2)\because$点$A(x_{1},y_{1})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上，
$\therefore y_{1}=-x_{1}^{2}+2x_{1}.$
$\because$点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)$在抛物线$y=-x^{2}+4x$上，
$\therefore y_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t),\therefore -x_{1}^{2}+2x_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t)，$$\therefore h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t.$
又$h=3t,\therefore3t=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t，$
$\therefore t(t+2x_{1})=t+2x_{1}.$
$\because x_{1}\geq0,t＞0,\therefore t+2x_{1}＞0,\therefore t=1,\therefore h=3.$

6. (衢州一模)对于二次函数$y = a(x - 1)^2 - a - 3(a ＞ 0)$.
(1)若二次函数的图象经过了$(2,-5)$,(1, -4),$(-1,-6)$三点中的某一个点.
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点,并说明理由;
②当$x\geqslant m$时,该函数的最小值是$-3$,求$m$的值.
(2)若二次函数的图象经过点$(n,p)$,$(n + 3,q)$,求当$p ＜ q$时,$n$的取值范围.

答案： $(1)①y=a(x-1)^{2}-a-3=ax^{2}-2ax-3.$当x=2时，$y=4a-4a-3=-3\neq-5，$不符合题意，舍去；当x=1时，$a-2a-3=-4,\therefore a=1，$符合题意，这时二次函数的解析式是$y=x^{2}-2x-3；$当x=-1时，$y=a+2a-3=-6,\therefore a=-1＜0，$不符合题意，舍去，$\therefore$二次函数的图象应经过(1,-4).
$②\because a=1,\therefore y=x^{2}-2x-3，$
$\therefore$二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象开口向上，对称轴是直线x=1，与y轴交于点(0,-3)，
$\therefore$当x＞1时，y随x的增大而增大，点(0,-3)关于直线x=1的对称点为(2,-3).
$\because$当$x\geq m$时，该函数的最小值是-3，$\therefore m=2.$
(2)二次函数的图象经过点(n,p),(n+3,q)，
$\therefore p=an^{2}-2an-3,q=a(n+3)^{2}-2a(n+3)-3.$
$\because p＜q,\therefore p-q=-6an-3a=-3a(2n+1)＜0.$
$\because a＞0,\therefore2n+1＞0，$即n＞-0.5.