《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 中考新考法 几何证明探究 (1)[问题提出]
如图(1)，在$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle DEC$中，$\angle ABC = \angle DEC = 90°$，$\angle BAC = 30°$，点$D$在边$BC$上，连接$AD$，点$E$在边$AC$上，$F$为$AD$的中点，连接$BE$，$BF$，$EF$，则$\triangle BEF$的形状是$\boldsymbol{$等边三角形$}$；
(2)[问题探究]
如图(2)，将图(1)中的$\triangle DEC$绕点$C$按逆时针方向旋转，当点$D$在线段$AE$上时，求证：$BE = BF$；
(3)[拓展延伸]
在图(2)中，若$CE = 4$，$\frac{CD}{BC} = \frac{4}{5}$，求线段$EF$的长。

答案：
1.
(1)等边三角形 [解析]在Rt△ABD中,F是AD的中点,
∴BF=AF=DF,
∴∠BAF=∠ABF,
∴∠BFD=∠BAF+∠ABF=2∠BAF,
同理可得EF=AF=DF,∠DFE=2∠EAF,
∴BF=EF,∠BFE=∠BFD+∠EFD=2(∠BAF+∠EAF)=2∠BAC=60°,
∴△BEF是等边三角形.
(2)如图,延长FA到点H,使HF=EF,连接BH.

在Rt△DEC中,易得∠CDE=30°,设CE=m,
∴CD=2m,DE=√3m.
∵FH=FE,F为AD的中点,
∴AF=DF,AH=DE=√3m,
∴AB/CB = AH/CE = √3.
∵∠BAH=180° - ∠BAC - ∠CAE=150° - ∠CAE,
∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+(90° - ∠CAE)=150° - ∠CAE,
∴∠BAH = ∠BCE,
∴△HAB∽△ECB,
∴∠HBA=∠EBC,
∴∠HBA+∠ABE=∠EBC+∠ABE,
∴∠HBE=∠ABC=90°,
∴BF=EF=HF.
由△HAB∽△ECB,得BH/BE = BA/BC,
∴△BHE∽△BAC,
∴∠BHE=∠BAC=30°,
∴HE=2BE,
∴BE=BF.
(3)在Rt△CDE中,∠CDE=30°,CE=4,
∴CD=2CE=8,DE=4√3.
∵CD/BC = 4/5,
∴BC=10,
∴AC=2BC=20,
∴AE=√(AC² - CE²)=√(20² - 4²)=8√6,
∴AD=AE - DE=8√6 - 4√3,
∴AF=DF=4√6 - 2√3,
∴EF=DF+DE=4√6 - 2√3+4√3=4√6+2√3.