《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 如图，在菱形$ ABCD $中，$ AB = 8 $，动点$ M $从点$ A $出发，以每秒$ 1 $个单位长度的速度沿$ AB $向点$ B $运动；动点$ N $从点$ C $出发，以每秒$ 2 $个单位长度的速度沿$ CD $向点$ D $运动。若运动$ t $秒后，四边形$ AMND $是平行四边形，则$ t $的值为(D)。

A.$ 2 $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ 4 $
D.$ \frac{8}{3} $

答案： 1.D　[解析]
∵四边形ABCD是菱形，AB=8,点M在AB 上，点N在CD上,
∴CD=AB=8,AM//DN,
∴当
AM=DN时，四边形AMND是平行四边形.由题意，得
AM=t,CN=2t.
∵AM=DN,
∴t=8−2t,解得t=$\frac{8}{3}$.故选D.

2. 实验班原创 如图，在矩形$ ABCD $中，$ AD = 3 $，$ AB = 4 $，$ M $为线段$ BD $上一动点，$ MP \perp CD $于点$ P $，$ MQ \perp BC $于点$ Q $，则$ PQ $的最小值为(A)。

A.$ \frac{12}{5} $
B.$ \frac{5}{2} $
C.$ 3 $
D.$ 5 $

答案：
2.A　[解析]如图，连接MC，
∵四边形ABCD为矩形，AD=3,AB=4,

∴∠BCD=90°,BC=AD=3,AB=CD=4.在直角三角形BCD中,由勾股定理,得BD=$\sqrt{BC²+CD²}$=$\sqrt{3²+4²}$=5.
∵MP⊥CD,MQ⊥BC,
∴∠MPC=∠MQC=∠PCQ=90°,则四边形MPCQ是矩形，
∴PQ=CM，当CM⊥BD时,CM最小,则PQ最小,此时S△BCD=$\frac{1}{2}$BC·CD=$\frac{1}{2}$BD·CM,即$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5·CM,解得CM=$\frac{12}{5}$,
∴PQ的最小值为$\frac{12}{5}$.故选A

3. 如图，$ \angle AOB = 45° $，点$ M $，$ N $分别在射线$ OA $，$ OB $上，$ MN = 8 $，$ \triangle OMN $的面积为$ 24 $，$ P $是直线$ MN $上的动点，点$ P $关于$ OA $对称的点为$ P_1 $，点$ P $关于$ OB $对称的点为$ P_2 $，当点$ P $在直线$ NM $上运动时，$ \triangle OP_1P_2 $的面积最小值为$ \boldsymbol{$18$} $。

答案：
3.18　[解析]如图，连接OP,过点O作OH⊥MN,交MN 的延长线于点H，
则S△OMN=$\frac{1}{2}$MN·OH=24,
MN=8,
∴OH=6.
∵点P关于
OA的对称点是P₁，点P关于OB 的对称点是P₂，
∴∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，OP₁=OP=OP₂.
∵∠AOB=45°,
∴∠P₁OP₂=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°,
∴S△OP₁P₂=$\frac{1}{2}$OP₁·OP₂=$\frac{1}{2}$OP².根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取最小值,即OP=OH=6,
∴△OP₁P₂的面积最小值为$\frac{1}{2}$×6×6=18.

4. 动点问题 如图，在$ \triangle ABC $中，$ AB = 8 \, cm $，$ BC = 16 \, cm $，动点$ P $从点$ A $开始沿边$ AB $运动，速度为$ 2 \, cm/s $；动点$ Q $从点$ B $开始沿边$ BC $运动，速度为$ 4 \, cm/s $，当点$ P $与点$ B $重合时，停止运动。如果$ P $，$ Q $两点同时运动，设运动时间为$ t $秒，当$ t = \boldsymbol{$0.8或2$} $秒时，由$ P $，$ B $，$ Q $三点连成的三角形与$ \triangle ABC $相似。

答案： 4.0.8或2　[解析]在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿边BC运动，速度为4cm/s.设经过t秒时，△QBP与△ABC相似,
∴AP=2tcm,BP=(8−2t)cm,
BQ=4tcm.
∵∠PBQ=∠ABC,当$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$时，△BPQ∽△BAC,即$\frac{8−2t}{8}$=$\frac{4t}{16}$,解得t=2;当$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$
时,△BPQ∽△BCA,即$\frac{8−2t}{16}$=$\frac{4t}{8}$,解得t=0.8.综上所述，经过0.8或2秒时，△QBP与△ABC相似

5. 将军饮马模型 如图，$ P $为菱形$ ABCD $的对角线$ AC $上一动点，$ M $为$ BC $的中点，连接$ PB $，$ PM $，$ AB = 2 $，$ \angle ABC = 60° $，则$ PB + PM $的最小值为(A)。

A.$ \sqrt{7} $
B.$ \frac{3\sqrt{3}}{2} $
C.$ \sqrt{3} + 1 $
D.$ \frac{\sqrt{7}}{2} + 1 $

答案：
5.A　[解析]
∵四边形ABCD是菱形，
∴点B与点D关于AC对称,AB=CD,AB//CD.如图，连接DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小，且最小值为DM，过点D 作DH⊥BC于点H.
∵AB//CD,
∴∠DCH=∠ABC=60°.
∵CD=AB=2,
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=1,
∴DH=$\sqrt{CD²−CH²}$=$\sqrt{3}$
∵M为BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$BC=1,
∴HM=2,
∴DM=$\sqrt{DH²+MH²}$=$\sqrt{7}$,
∴PB+PM的最小值为$\sqrt{7}$
故选A

6. 如图，在$ Rt \triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90° $，$ AC = 3 $，$ BC = 4 $，点$ D $，$ E $分别是$ AB $，$ BC $上的动点，且$ AD = BE $，连接$ CD $，$ AE $，则$ CD + AE $的最小值是$ \boldsymbol{$\sqrt{34}$} $。
答案见$ \boldsymbol{P14} $

答案：
6.$\sqrt{34}$　[解析]过点B作BF⊥AB,且使BF=AC,连接EF,AF,如图所示.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理，得AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{3²+4²}$=5.
∵BF⊥AB,
∴∠ABF=90°.在Rt△ABF中,AB=5,BF=AC=3,
由勾股定理,得AF=$\sqrt{AB²+BF²}$=$\sqrt{5²+3²}$=$\sqrt{34}$
∵∠ABF=90°,∠ACB=90°,
∴∠CBA+∠FBE=90°,
∠CBA+∠CAD=90°,
∴∠FBE=∠CAD.
在△FBE和△CAD中，$\begin{cases}BF=AC,\\∠FBE=∠CAD,\\BE=AD,\end{cases}$
∴△FBE≌△CAD(SAS),
∴EF=CD,
∴CD+AE=EF+AE,
∴当EF+AE最小时，CD+AE最小.根据“两点之间线段最短”,得EF+AE≥AF=$\sqrt{34}$,
∴当点F,E,A共线时,EF+AE最小,最小值是$\sqrt{34}$,
∴CD+AE的最小值是$\sqrt{34}$.