《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 将军饮马模型 已知二次函数$ y = ax^2 + bx + c $的图象的顶点为$ (-1,4) $，与$ x $轴交于$ A,B $两点，与$ y $轴交于点$ C(0,3) $，如图所示.
(1) 求二次函数的解析式.
(2) 在抛物线的对称轴上有一点$ M $，使得$ \triangle BCM $的周长最小，求出点$ M $的坐标.
(3) 若点$ Q $在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点$ P $，使得以$ A,B,Q,P $四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点$ P $的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
1.
(1)
∵抛物线的顶点为(−1,4)，
∴设二次函数解析式为y=a(x+1)²+4.
∵图象过点C(0,3)，
∴当x=0时，y=3，
∴3=a(0+1)²+4，解得a=−1，
∴二次函数解析式为y=−(x+1)²+4，
　即y=−x²−2x+3.
(2)令−x²−2x+3=0，得x₁=−3，x₂=1，
∴点A的坐标为(−3,0)，点B的坐标为(1,0).
∵A，B关于对称轴x=−1对称，点M在对称轴x=−1上，
∴MA=MB，
∴△BCM的周长=BC+CM+BM=BC+CM+AM，
　此处用到了“将军饮马”模型
∴当A，M，C在同一直线上时，△BCM的周长最小.
　设直线AC的函数解析式为y=kx+t，
　则$\begin{cases} -3k + t = 0, \\ k = 1, \\ t = 3, \end{cases}$
∴直线AC的函数解析式为y=x+3.
∵点M的横坐标为−1，
∴点M的坐标为(−1,2).
(3)如图，当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，
∴四边形AQBP是平行四边形，
　此时点P的坐标为(−1,4)；
　当P'Q'//AB，P'Q'=AB=4时，四边形AP'Q'B是平行四边形，此时点P'的横坐标为−1−4=−5，
∴P'的纵坐标为−25 + 10×3=−12，
∴点P'的坐标为(−5,−12)；
　当P''Q'//AB，P''Q'=AB=4时，四边形AQ'P''B是平行四边形，此时点P''的横坐标为3，
∴P''的纵坐标为−9−6 + 3=−12，
∴点P''的坐标为(3,−12).
　综上所述，以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为(−1,4)或(−5,−12)或(3,−12).