《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (达州中考)如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 过点 $ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $，$ C(0, 3) $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设点 $ P $ 是直线 $ BC $ 上方抛物线上一点，求出 $ \triangle PBC $ 的最大面积及此时点 $ P $ 的坐标；
(3) 若点 $ M $ 是抛物线对称轴上一动点，点 $ N $ 为坐标平面内一点，是否存在以 $ BC $ 为边，点 $ B $，$ C $，$ M $，$ N $ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $ N $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

思路分步拆解
(1) 先设出交点式，再利用待定系数法即可求解；
(2) (第一步：求直线 $ BC $ 的解析式)用待定系数法求出直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = $-x + 3$ $；
(第二步：设参数表示出线段 $ PH $ 的长)过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线交 $ BC $ 于点 $ H $，设点 $ P $ 和点 $ H $ 的横坐标为 $ p $，根据抛物线和直线的解析式表示出点 $ P $ 和点 $ H $ 的坐标，从而得到线段 $ PH $ 的长为 $ $-p² + 3p$ $；
(第三步：利用二次函数的性质求面积的最大值)用 $ p $ 表示出 $ \triangle PBC $ 的面积，再用配方法将其化成顶点式，从而求得最值。
(3) 分两种情况：① $ BM $ 为对角线；② $ BN $ 为对角线，再由 $ BC $ 为菱形的边长，利用菱形的性质可建立适当的方程，解决问题。

答案：

(1)由题意，得抛物线的解析式为y = a(x + 1)(x - 3) = a(x² - 2x - 3)，把C(0,3)代入，得 - 3a = 3，解得a = - 1。故抛物线的解析式为y = - x² + 2x + 3。
(2)由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y = - x + 3。如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，连接PC，PB。设点P(p, - p² + 2p + 3)，则点H(p, - p + 3)，
则△PBC的面积 = S△PHC + S△PHB = $\frac{1}{2}$PH·OB = $\frac{3}{2}$×(- p² + 2p + 3 + p - 3) = - $\frac{3}{2}$(p - $\frac{3}{2}$)² + $\frac{27}{8}$ ≤ $\frac{27}{8}$，
即△PBC面积的最大值为$\frac{27}{8}$，此时点P($\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$)。

(3)存在。
∵B(3,0)，C(0,3)，抛物线的函数解析式为y = - x² + 2x + 3，
∴对称轴为直线x = 1。
设点M(1,t)，N(x,y)，
注意分情况讨论，避免漏解
若BC为菱形的边长，BM为对角线，则BC² = CM²，
即18 = 1² + (t - 3)²，解得t₁ = $\sqrt{17}$ + 3，t₂ = - $\sqrt{17}$ + 3。
$\begin{cases}3 + 1 = 0 + x \\0 + t = 3 + y\end{cases}$
∴x = 4，y = t - 3，
∴N₁(4,$\sqrt{17}$)，N₂(4, - $\sqrt{17}$)；
若BC为菱形的边长，BN为对角线，则BC² = BM²，
即18 = (3 - 1)² + t²，解得t₃ = $\sqrt{14}$，t₄ = - $\sqrt{14}$。
$\begin{cases}3 + x = 0 + 1 \\0 + y = 3 + t\end{cases}$
∴x = - 2，y = 3 + t，
∴N₃(- 2,$\sqrt{14}$ + 3)，N₄(- 2, - $\sqrt{14}$ + 3)。
综上，点N的坐标为(4, - $\sqrt{17}$)或(4,$\sqrt{17}$)或(- 2,$\sqrt{14}$ + 3)或(- 2, - $\sqrt{14}$ + 3)。