《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (宿迁宿城区二模)传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为$4\sqrt{2}$的正方形纸板做出如图(1)所示的七巧板，拼接成小鱼图案(外轮廓是轴对称图形)并把图案放到圆中，如图(2)所示，$A$，$B$，$C$三点在圆上，圆的半径是$\frac{73}{16}$。

思路分步拆解
(第一步：求出$BC$的长)根据正方形纸板的长度，分别求得七巧板各个图形的边长，根据平行四边形的短边长和中等腰直角三角形的斜边长可求出$BC$的长为6；
(第二步：利用垂径定理得到$BP = CP$)应用图形对称性抽象已知元素。延长$AQ$交$BC$于点$P$，设圆心为点$O$，连接$OB$，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到AQ垂直平分$BC$，得到圆心$O$在$AP$上，$BP = CP = $3$$；
(第三步：列方程求解)设图案所在圆的半径为$r$。在$Rt\triangle BOP$中利用勾股定理列方程求解。

答案：
$\frac{73}{16}$　[解析]如图，延长AQ交BC于点P，设圆心为点O，连接OB.
∵用边长为$4\sqrt{2}$的正方形纸板做出如题图
(1)所示的七巧板，
∴大等腰直角三角形的直角边长为4，中等腰直角三角形的直角边长为$2\sqrt{2}$，小等腰直角三角形的直角边长为2，小正方形的边长为2，平行四边形的边长为2和$2\sqrt{2}$，
∴BC是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即$BC=2+\sqrt{2}×2\sqrt{2}=6$.
∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形，
∴AQ垂直平分BC，
∴圆心O在AP上，$BP=CP=\frac{1}{2}BC=3$.由题意，可得$AP=4+2+2=8$，设$OA=OB=r$，则$OP=AP - OA=8 - r$.
∵在Rt△BOP中，由勾股定理，得$OP^2+BP^2=OB^2$，
∴$(8 - r)^2+3^2=r^2$，解得$r=\frac{73}{16}$，
∴圆的半径是$\frac{73}{16}$.
　　　　　　　　
典例思路分步拆解:6　AQ　3　勾股