《2025年实验班中考数学压轴题》

[典例] 如图(1),抛物线$ y=\frac{1}{2}x^2+bx+c $与$ x $轴交于点$ A $,点$ B(6,0) $(点$ A $位于点$ B $左侧),与$ y $轴交于点$ C $,且$ OB=OC $.
(1)求$ b,c $的值;
(2)连接$ BC $,点$ P $是直线$ BC $下方抛物线上的一点,连接$ AC,AP,PB $.
①如图(2),$ AP $与$ BC $交于点$ M $,若$ S_{\triangle ACM}-S_{\triangle PBM}=8 $,求此时点$ P $的坐标;
②如图(3),过点$ P $作$ PQ// AC $交$ BC $于点$ Q $,连接$ AQ $,求$ S_{\triangle PAQ}+S_{\triangle PBQ} $的最大值.

思路分步拆解
(1)由点$ C $在$ y $轴上,且$ OB=OC $,得$ C($0$,$-6$) $,则$ c=$-6$ $,将点$ B $和$ c $代入$ y=\frac{1}{2}x^2+bx+c $即可得解;
(2) ①设点$ P $的坐标为$ (t,\frac{1}{2}t^2-2t-6) $,易知$ S_{\triangle ACM}-S_{\triangle PBM}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABP} $,即可求得点$ P $的坐标;
②(第一步:等积转化)由$ PQ// AC $,得$ S_{\triangle PAQ}+S_{\triangle PBQ}=S_{\triangle PCB} $;
(第二步:写出关于面积的函数解析式)连接$ PC $,过点$ P $作$ PD\perp x $轴于点$ D $,交$ BC $于点$ E $.设直线$ BC $的解析式为$ y=kx+b $,将点$ B $,点$ C $的坐标分别代入,得直线$ BC $的解析式为$ y=$x-6$ $,设点$ P(m,\frac{1}{2}m^2-2m-6) $,则$ E(m,m-6) $,则$ PE=$-\frac{1}{2}m^2+3m$ $,所以$ S_{\triangle PAQ}+S_{\triangle PBQ}=S_{\triangle PCB}=$-\frac{3}{2}(m-3)^2+\frac{27}{2}$ $,由二次函数的性质即可得解.

答案： 典例 思路分步拆解:
(1) $0$ $ - 6$ $ - 6$
(2)②$x - 6$
$-\frac{1}{2}m^{2}+3m$ $-\frac{3}{2}(m - 3)^{2}+\frac{27}{2}$
解:
(1)$\because B(6,0)$,$OB = OC$,$\therefore OB = OC = 6$.
$\because$点$C$位于原点下方,$\therefore C(0, - 6)$,
$\therefore c = - 6$,把点$B(6,0)$代入抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx - 6$中,得
$0=\frac{1}{2}×36 + 6b - 6$,解得$b = - 2$.
故$b$,$c$的值分别为$-2$,$-6$.
(2)①由
(1)可知,抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$,当
$y = 0$时,$\frac{1}{2}x^{2}-2x - 6 = 0$,解得$x_{1}=-2$,$x_{2}=6$,
$\therefore A(-2,0)$,$\therefore AB = 6 - (-2)=8$,设点$P$的坐标为
$(t,\frac{1}{2}t^{2}-2t - 6)$,其中$0\lt t\lt6$,则$S_{\triangle ACM}-S_{\triangle PBM}$
$=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}|AB|·|y_{C}|-\frac{1}{2}AB·|y_{P}|=\frac{1}{2}×8×$
$6-\frac{1}{2}×8×(-\frac{1}{2}t^{2}+2t + 6)=2t^{2}-8t = 8$,整理,得$t^{2}-$
$4t - 4 = 0$,解得$t_{1}=-2\sqrt{2}+2$(舍去),$t_{2}=2\sqrt{2}+2$,当$t=$
$2\sqrt{2}+2$时,$y=\frac{1}{2}t^{2}-2t - 6=-4$,
$\therefore$此时点$P$的坐标为$(2\sqrt{2}+2,-4)$.
②如图,连接$PC$,过点$P$作$PD\perp x$轴于点$D$,交$BC$于点$E$.
$\because PQ// AC$,$\therefore S_{\triangle PAQ}=S_{\triangle PCQ}$,
$\therefore S_{\triangle PAQ}+S_{\triangle PBQ}=S_{\triangle PCB}$.设直线$BC$的解
析式为$y = kx + b$,将点$B$,$C$的坐标分
别代入,得$\begin{cases}0 = 6k + b\\-6 = b\end{cases}$, 解得$\begin{cases}k = 1\\b = - 6\end{cases}$,
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = x - 6$.
设点$P(m,\frac{1}{2}m^{2}-2m - 6)$,则$E(m,m - 6)$,
$\therefore PE=(m - 6)-(\frac{1}{2}m^{2}-2m - 6)=-\frac{1}{2}m^{2}+3m$,$\therefore S_{\triangle PAQ}+S_{\triangle PBQ}=S_{\triangle PCB}=\frac{1}{2}×6× PE=3×$$ ( - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } + 3 m ) = - \frac { 3 } { 2 } ( m ^ { 2 } - 6 m ) = - \frac { 3 } { 2 } ( m - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 2 7 } { 2 }. $
$ \because - \frac { 3 } { 2 } ＜ 0, $
$( - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } + 3 m ) = - \frac { 3 } { 2 } ( m ^ { 2 } - 6 m ) = - \frac { 3 } { 2 } ( m - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 2 7 } { 2 }.$
$\because - \frac { 3 } { 2 } ＜ 0,$
$\therefore 当 m = 3 时, S$${ \triangle P A Q }$ + S${ \triangle P B Q }$ 有最大值, 最大值为$ \frac { 2 7 } { 2 }.$