《2025年实验班中考数学压轴题》

典例$ ($成都中考$)$分子为$1$的真分数叫作$“$单位分数$”，$也叫$“$埃及分数$”.$古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和$,$如$\frac{3}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}.$将$\frac{3}{11}$拆分成两个单位分数相加的形式为　　$\frac{1}{4}+\frac{1}{44}$　　$.$一般地$,$对于任意奇数$k(k＞2),$将$\frac{2}{k}$拆分成两个不同单位分数相加的形式为　　$\frac{1}{k(k + 1)}+\frac{1}{k + 1}$　　$.$　　
思路分步拆解　　
$($第一步$:$将$\frac{3}{11}$拆分$)$根据题中定义$,$结合题干例子可将$\frac{3}{11}$拆分$;$　　
$($第二步$:$先将前几个数拆分$,$寻找规律$)$分别求得$k = 3,5,7,·s$的对应等式$,$当$k = 3 = 2×1 + 1$时$,$　　$\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$　　$,$当$k = 5 = 2×2 + 1$时$,$　　$\frac{1}{15}+\frac{1}{3}$　　$,$当$k = 7 = 2×3 + 1$时$,$　　$\frac{1}{28}+\frac{1}{4}$　　$,·s;$　　
$($第三步$:$总结规律$)$由此得到等式左右两边代数式的变化规律$,$进而可得答案$.$　　

答案： 典例思路分步拆解:$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{28}$+$\frac{1}{4}$
[解析] $\frac{3}{11}=\frac{12}{44}=\frac{11 + 1}{44}=\frac{11}{44}+\frac{1}{44}=\frac{1}{4}+\frac{1}{44}$。由题意，当$k = 3 = 2×1 + 1$时，$\frac{2}{3}=\frac{1 + 3}{6}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$；当$k = 5 = 2×2 + 1$时，$\frac{2}{5}=\frac{1 + 5}{15}=\frac{1}{15}+\frac{1}{3}$；当$k = 7 = 2×3 + 1$时，$\frac{2}{7}=\frac{1 + 7}{28}=\frac{1}{28}+\frac{1}{4}$；…；当$k = 2n + 1$时，$\frac{2}{k}=\frac{1}{(2n + 1)(n + 1)}+\frac{1}{n + 1}$。又$n=\frac{k - 1}{2}$，
∴对于任意奇数$k(k＞2)$，$\frac{2}{k}=\frac{1}{k(k + 1)}+\frac{1}{k + 1}$。

1. 数学文化 斐波那契数列 (扬州中考)1202 年数学家
斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:$1,1,2,3,5,·s$,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在
这一列数的前$2024$个数中,奇数的个数为(D).

A.$676$
B.$674$
C.$1348$
D.$1350$

答案： 1.D　[解析]这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,...，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数。
∵2024÷3 = 674......2，即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有674×2 + 2 = 1350(个)。故选D。