《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 如图，过原点的直线与抛物线$ y = x^2 - x - 2 $交于点$ E,F $(点$ E $在$ y $轴的右边)，过点$ E $的直线$ l $与抛物线有唯一公共点，过点$ F $作$ y $轴的平行线交直线$ l $于点$ D $，设点$ E,F $的横坐标分别为点$ m,n $，若$ \triangle DEF $的面积为$ 4 $，求$ m,n $满足的关系式。

答案： 1.设$E(m,m^{2}-m - 2)$，$F(n,n^{2}-n - 2)$，设直线$DE$的解析式为$y = k(x - m) + m^{2}-m - 2$，再与$y = x^{2}-x - 2$联立，得$x^{2}-(1 + k)x + km - m^{2}+m = 0$.
直线$l$与抛物线有唯一公共点，
　　↘等价于联立后的方程有2个相等的实根，体现数形结合的思想
∴$\Delta = 0$，$x_{1} = x_{2} = \frac{1 + k}{2}$，即$m = \frac{1 + k}{2}$，
∴$k = 2m - 1$，
∴直线$DE$的解析式为$y = (2m - 1)x - 2 - m^{2}$，
∴$D(n,2mn - n - m^{2}-2)$，
∴$FD = (n^{2}-n - 2) - (2mn - m^{2}-n - 2) = (m - n)^{2}$，
∴$S_{\triangle DEF} = \frac{1}{2}(m - n)^{3} = 4$，
∴$m - n = 2$.

2. 已知抛物线的顶点为原点，且抛物线经过$ (4, -4) $。
(1) 求该抛物线的解析式。
(2) 已知直线$ l:y = kx - kt + 1 $($ k,t $为常数)与抛物线只有一个公共点。
① 求证：对于每个给定的实数$ t $，这样的直线$ l $均有两条。
② 设①中这样的两条直线与抛物线的公共点分别为$ A,B $。问：直线$ AB $是否恒过某一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由。

答案： 2.
(1)设抛物线解析式为$y = ax^{2}$，
∴$-4 = 16a$，
∴$a = -\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为$y = -\frac{1}{4}x^{2}$.
(2)①联立$\begin{cases}y = kx - kt + 1\\y = -\frac{1}{4}x^{2}\end{cases}$，
得$x^{2}+4kx - 4kt + 4 = 0$.
∵直线$l:y = kx - kt + 1$（$k$，$t$为常数）与抛物线只有一个公共点，
∴$\Delta = 16k^{2}-4(4 - 4kt) = 0$，
∴$k^{2}+kt - 1 = 0$.
∵关于$k$的一元二次方程$k^{2}+kt - 1 = 0$，$\Delta = t^{2}-4×1×(-1) = t^{2}+4 ＞ 0$，
∴对于任意给定的实数$t$，关于$k$的一元二次方程$k^{2}+kt - 1 = 0$总有两个不相等的实数根，
∴对于每个给定的实数$t$，这样的直线$l$均有两条.
②设$A(2a,-a^{2})$，$B(2b,-b^{2})$.
∵直线$l:y = kx - kt + 1 = k(x - t) + 1$（$k$，$t$为常数），
∴对于任意给定的实数$t$，直线$l$都经过点$P(t,1)$.
设直线$AP$的解析式为$y_{AP} = k_{1}x + b_{1}$，
∴$-a^{2} = 2ak_{1}+b_{1}$，
∴$b_{1} = - 2ak_{1}-a^{2}$，
∴$y_{AP} = k_{1}x - 2ak_{1}-a^{2}$，
联立$\begin{cases}y_{AP} = k_{1}x - 2ak_{1}-a^{2}\\y = -\frac{1}{4}x^{2}\end{cases}$，
得$x^{2}+4k_{1}x - 8ak_{1}+4a^{2} = 0$.
∵直线$PA$与抛物线只有一个交点，
∴$16k_{1}^{2}+4(8ak_{1}+4a^{2}) = 0$，
∴$k_{1}^{2}+2ak_{1}+a^{2} = 0$，
∴$k_{1} = - a$，
∴$y_{AP} = - ax + a^{2}$.
同理$y_{BP} = - bx + b^{2}$，
∴$\begin{cases}-at + a^{2} = 1\\-bt + b^{2} = 1\end{cases}$，
∴$t = \frac{a^{2}-1}{a}=\frac{b^{2}-1}{b}$，
∴$a - \frac{1}{a} = b - \frac{1}{b}$，
∴$a - b = \frac{1}{a}-\frac{1}{b}$，
∴$a - b = \frac{b - a}{ab}$.
又$a\neq b$，
∴$ab = -1$.
设直线$AB$的解析式为$y = mx + n$，
∴$\begin{cases}2am + n = - a^{2}\\2bm + n = - b^{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m = \frac{-(a + b)}{2}\\n = ab\end{cases}$，
∴直线$AB$的解析式为$y = \frac{-(a + b)x}{2}+ab = \frac{-(a + b)x}{2}-1$，
∴直线$AB$一定经过定点$(0,-1)$.