《2025年实验班中考数学压轴题》

[典例] 已知，抛物线$ y = ax^2 + bx + c $经过点$ A(1,0) $，$ B(5,0) $，$ C(2,-3) $，且顶点为$ D $.
(1) 求抛物线的解析式及点$ D $的坐标；
(2) 求$ \tan\angle DBC $；
(3) 抛物线对称轴与$ x $轴交于点$ F $，点$ E $为抛物线在第四象限上的点，且$ \angle EAC + \angle ACF = 45° $，求点$ E $的坐标.

思路分步拆解
(1) (第一步:利用待定系数法确定抛物线解析式)将点$ A $，$ B $，$ C $的坐标代入，用待定系数法求得抛物线的解析式为$ $$ $；
(第二步:求得顶点$ D $的坐标)将解析式化为顶点式，并表示出点$ D $的坐标为$ $$ $.
(2) (第一步:确定三角形形状)由点$ B $，$ C $，$ D $的坐标求得线段$ BD $，$ BC $，$ CD $的长，再判断$ \triangle BCD $为$ $$ $；
(第二步:求$ \tan\angle DBC $的值)利用数形结合思想在直角三角形中求得$ \tan\angle DBC $的值.
(3) (第一步:根据条件构造全等三角形)作辅助线构造$ \triangle APH \cong \triangle QAG $；
(第二步:求点$ E $的坐标)根据全等三角形表示点的坐标，列方程求点$ E $的坐标.

答案：
解:
(1)抛物线$y = ax^{2} + bx + c$，经过点$A(1,0)$，$B(5,0)$，$C(2,-3)$，
将点$A$，$B$，$C$的坐标分别代入，
得$\begin{cases}a + b + c = 0 \\25a + 5b + c = 0 \\4a + 2b + c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\b = -6 \\c = 5\end{cases}$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2} - 6x + 5 = (x-3)^{2} -4$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$D(3,-4)$。
(2)如图
(1)，连接$BC$，$BD$，$CD$，

$\because B(5,0)$，$C(2,-3)$，$D(3,-4)$，
$\therefore BD = \sqrt{(5-3)^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$，$BC = \sqrt{(5-2)^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2}$，
$CD = \sqrt{(2-3)^{2} + (-3+4)^{2}} = \sqrt{2}$。
$\because(2\sqrt{5})^{2} = (3\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}$，即$BD^{2} = BC^{2} + CD^{2}$，
$\therefore \triangle BCD$是直角三角形，且$\angle BCD = 90^{\circ}$，
$\therefore\tan\angle DBC = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$。
(3)过点$A$作$AQ \perp AE$交$CF$的延长线于点$Q$，设$AE$，$CF$交点为$P$，分别过点$P$，$Q$作$x$轴的垂线，垂足分别为$H$，$G$，连接$AC$，如图
(2)所示，

$\because \angle EAC + \angle ACF = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle APF = \angle EAC + \angle ACF = 45^{\circ}$。
$\because \angle QAP = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AQP = 45^{\circ}$，
$\therefore \triangle QAP$是等腰直角三角形，$\therefore AQ = AP$。
$\because \angle QAP = \angle AHP = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle QAG + \angle GAP = \angle GAP + \angle APH = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle QAG = \angle APH$。
在$\triangle APH$和$\triangle QAG$中，$\begin{cases} \angle AHP = \angle QGA = 90^{\circ} \\ \angle APH = \angle QAG \\PA = AQ \end{cases}$，
$\therefore \triangle APH \cong \triangle QAG(AAS)$，$\therefore AH = QG$，$PH = AG$。
$\because F$是抛物线对称轴与$x$轴的交点，即$F(3,0)$，且$C(2,-3)$，设直线$CF$的解析式为$y = mx + n(m \neq 0)$，将点$C$，$F$的坐标代入，得$\begin{cases} -3 = 2m + n \\0 = 3m + n \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = 3 \\n = -9 \end{cases}$，
$\therefore$直线$CF$的解析式为$y = 3x-9$。
设$P(p,3p-9)$，则$H(p,0)$。
$\because A(1,0)$，$\therefore AH = p-1$，$PH = 0-(3p-9) = 9-3p$，
$\therefore AH = QG = p-1$，$AG = PH = 9-3p$，$\therefore OG = OA + AG = 10-3p$，$\therefore Q(10-3p,p-1)$。
$\because$点$Q$在直线$CF$上，则$3(10-3p)-9 = p-1$，解得$p = \frac{11}{5}$，$\therefore P(\frac{11}{5},-\frac{12}{5})$。
设直线$AP$的解析式为$y = kx + t(k \neq 0)$，将点$A$，$P$的坐标分别代入，得$\begin{cases} 0 = k + t \\-\frac{12}{5} = \frac{11}{5}k + t \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = -2 \\t = 2 \end{cases}$，
$\therefore$直线$AP$的解析式为$y = -2x+2$，
令$-2x+2 = x^{2}-6x+5$，即$x^{2}-4x+3 = 0$，解得$x = 3$或$x = 1$(与点$A$重合，舍去)，
则$-2 × 3+2 = -4$，$\therefore$点$E$的坐标为$(3,-4)$。