《2025年实验班中考数学压轴题》

2. (南通模拟)如图,在正方形$ABCD$中,点$E$在边$AD$上(不与端点$A$,$D$重合),点$A$关于直线$BE$的对称点为点$F$,连接$CF$,设$\angle ABE = \alpha$.
(1)求$\angle AFC$的大小.
(2)过点$C$作$CG\perp AF$,垂足为$G$,连接$DG$.
①求证:$DG// CF$;
②连接$OD$,若$OD\perp DG$,求$\sin\alpha$的值.

答案：
2.
(1)连接BF.
∵点A关于直线BE的对称点为点F,
∴AB=BF,BE⊥AF,
∴∠ABE=∠EBF=α,
∴∠BFA=90° - α,∠CBF=90° - 2α.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,
∴BF=BC,
∴∠BFC=$\frac{180° - ∠CBF}{2}$=$\frac{180°-(90° - 2α)}{2}$=45° + α,
∴∠AFC=∠BFA+∠BFC=90° - α+45° + α=135°.
(2)①如图
(1),连接AC,BF.
∵四边形ABCD是正方形，∠ACD=45°,∠ADC=90°.
∵CG⊥AF,
∴∠CGA=∠ADC=90°,
⇒有公共斜边的2个直角三角形的4个顶点共圆
∴∠AGD=∠ACD=45°.
由
(1)知∠AFC=135°,
∴∠CFG=45°=∠DGA,
∴DG//CF.

②如图
(2),连接BF,DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC,∠BAD=∠ADC=90°,由①知∠AGD=∠CFG=45°.
∵OD⊥DG,CG⊥FG,
∴∠ODG=∠CGF=90°,
∴△ODG和△CFG均为等腰直角三角形，
∴DO=DG,FG=CG.
∵∠ADO+∠ODC=∠CDG+∠ODC=90°,
∴∠ADO=∠CDG.
又DA=DC,
∴△DAO≌△DCG(SAS),
∴AO=CG.
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AO=OF,
∴AO=OF=FG,
∴DF⊥OG,DF=OF=$\frac{1}{2}$AF,
∴∠AFD=90°,AF=2DF.
在Rt△ADF中,AD=$\sqrt{AF^{2}+DF^{2}}$=$\sqrt{(2DF)^{2}+DF^{2}}$=$\sqrt{5}DF$.
∵∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°,
∴∠DAF=∠ABE=α,
∴sinα=sin∠DAF=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{DF}{\sqrt{5}DF}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
⇒遇到不方便求角的三角函数值时，可考虑转化角进行求值

3. (贵州贵阳期末)小星学习了正方形的相关知识后,对正方形进行了探究.
如图,$BD$为正方形$ABCD$的一条对角线,点$E$为$BD$上任意一点(点$E$不与点$B$,$D$重合),点$G$为$DE$中点,过点$E$作$EF\perp BC$交$BC$边于点$F$,延长$FE$交$AD$于点$H$.
(1)如图(1),连接$HG$,则$HG$与$DE$的位置关系为$$HG⊥DE$$,$HG$与$DE$的数量关系为$$DE = 2HG$$;
(2)如图(2),连接$AG$,$FG$,求证:$\angle AGH = \angle FGE$;
(3)如图(3),连接$AG$并延长交$CD$于点$M$,连接$FM$,探究线段$DM$,$FM$,$BF$之间的数量关系,并说明理由.
精题详解

答案：
3.
(1)HG⊥DE　DE=2HG　[解析]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC,∠ADB=∠CBD=45°.
∵EF⊥BC,
∴EF⊥AD,
∴∠DHE=90°,
∴△DEH是等腰直角三角形.
∵G是DE的中点，
∴HG=DG=EG,HG⊥DE,
∴DE=2HG.
(2)由
(1)知△DEH是等腰直角三角形，
∴∠DEH=45°,
∴∠FEG=180° - 45°=135°.
∵∠BFE=90°,∠EBF=45°,
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAH=∠ABF=90°,
∴∠BFH=∠BAH=∠ABF=90°,
∴四边形ABFH是矩形，
∴AH=BF,
∴AH=EF.
由
(1)得HG=EG=DG,
∴∠DHG=45°,
∴∠AHG=180° - 45°=135°,
∴∠AHG=∠FEG.
在△AHG和△FEG中，$\begin{cases}AH=FE,\\ ∠AHG=∠FEG,\\ HG=EG,\end{cases}$
∴△AHG≌△FEG(SAS),
∴∠AGH=∠FGE.
(3)DM+BF=FM.理由如下:
如图,连接AF,HG,FG,将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，
⇒此处运用到了“半角”模型

则AN=AM,BN=DM,∠NAB=∠MAD.
由
(2)知△AHG≌△FEG,
∴∠AGH=∠FGE,AG=FG.
∵HG⊥DE,
∴∠AGH+∠AGB=90°,
∴∠FGE+∠AGB=90°,即∠AGF=90°,
∴△AFG是等腰直角三角形,
∴∠FAM=45°,
∴∠FAB+∠MAD=90° - 45°=45°,
∴∠FAN=∠FAB+∠NAB=∠FAB+∠MAD=45°,
∴∠FAN=∠FAM.
在△AFN和△AFM中，$\begin{cases}AN=AM,\\ ∠FAN=∠FAM,\\ AF=AF,\end{cases}$
∴△AFN≌△AFM(SAS),
∴FN=FM.
∵FN=BN+BF=DM+BF,
∴DM+BF=FM.