《2025年实验班中考数学压轴题》

3. 中考新考法 动点问题 （东营一模）若直线$y = x - 5$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B$，二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$A$，$B$，且与$x$轴交于点$C(-1,0)$。
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 若点$P$为直线$AB$下方抛物线上一点，过点$P$作直线$AB$的垂线，垂足为$E$，作$PF // y$轴交直线$AB$于点$F$，求线段$PF$的最大值及此时点$P$的坐标；
(3) 将抛物线沿$x$轴的正方向平移$2$个单位长度得到新抛物线$y'$，$Q$是新抛物线$y'$与$x$轴的交点（靠近$y$轴），$N$是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点$M$，使得以$M$，$N$，$B$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点$M$的坐标。

答案：
3.
(1)把x=0代入y=x−5,得y=−5,
∴A(0,−5)。
把y=0代入y=x−5,得0=x−5,解得x=5,
∴B(5,0)。
∴设二次函数的解析式为y=a(x−5)(x+1)=a(x²−4x−5),把A(0,−5)代入,得−5a=−5,解得a=1。
故该抛物线的解析式为y=x²−4x−5。
(2)如图，延长PF交BC于点H。
设P(m,m²−4m−5),
则F(m,m−5),
∴PF=m−5−m²+4m+5 =−m²+5m =−(m - $\frac{5}{2}$)²+$\frac{25}{4}$。
∵−1＜0,
∴当m=$\frac{5}{2}$时,PF有最大值为$\frac{25}{4}$,此时,点P的坐标为($\frac{5}{2}$,−$\frac{35}{4}$)。

(3)
∵y=x²−4x−5=(x−2)²−9,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,平移后的抛物线解析式为y'=(x−4)²−9=x²−8x+7。
把y' = 0代入y'=x²−8x+7,得x²−8x+7 = 0,解得x₁=1,x₂=7,
∴Q(1,0)。
∵N是原抛物线对称轴上一动点,
∴设N(2,n)。
∵点M在新抛物线上,
∴设M(t,t²−8t+7)。
①当BQ为边时,则点Q向右平移4个单位长度得到点B,同样点M(N)向右平移4个单位长度得到点N(M)，即t±4=2,解得t=−2或6,
即点M的坐标为(6,−5)或(−2,27)；
②当BQ为对角线时,由中点坐标公式,得5 + 1 = t + 2,解得t=4,则M(4,−9)。
综上，满足条件的点M的坐标为(4,−9)或(6,−5)或(−2,27)。

4. 中考新考法 存在性问题探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^2 + bx - 2(a ＞ 0)$与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(1,0)$两点，与$y$轴交于点$C$。
(1) 求抛物线的函数解析式；
(2) 如图(1)，若点$D$是第三象限内抛物线上一个动点，连接$AC$，过点$D$作$DE \perp AC$于点$E$，求线段$DE$的最大值及此时点$D$的坐标；
(3) 如图(2)，将抛物线向右平移$5$个单位得到抛物线$y'$。抛物线$y'$与抛物线$y$交于点$F$，连接$CF$，若点$P$是$x$轴上一动点，是否存在这样的点$P$，使得$\angle PCB = \angle OCF$？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
4.
(1)把点A(−2,0),B(1,0)分别代入y=ax²+bx−2,得$\begin{cases}4a - 2b - 2 = 0\\a + b - 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 1\end{cases}$，所以抛物线的解析式为y=x²+x−2。
(2)如图
(1)，过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P,延长DE交y轴于点F。
将x=0代入y=x²+x−2中,得y=−2,
∴C(0,−2)。
设直线AC的解析式为y=mx+n,将点A(−2,0),C(0,−2)代入y=mx+n中,
得$\begin{cases}-2m + n = 0\\n = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1\\n = -2\end{cases}$，
∴直线AC的解析式为y=−x−2。
∵OA = OC = 2，∠AOC = 90°，
∴∠ACO = 45°。
∵PD⊥x轴，
∴PD//CF。
∵DE⊥AC，
∴∠DPE = ∠ACO = 45°，∠PED = 90°，
∴△PED为等腰直角三角形，
∴DE = PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD。
设点D的坐标为(k,k²+k−2),则点P的坐标为(k,−k−2),
∴PD=−k−2−(k²+k−2)=−k²−2k=−(k + 1)²+1。
∵−1＜0,
∴当k = -1时,PD有最大值,为1,此时DE的值也最大,为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,k²+k−2=−2,
∴此时点D的坐标为(−1,−2)。

(3)
∵将抛物线向右平移5个单位得到抛物线y',
∴y'=(x−5)²+(x−5)−2=x²−9x+18。
∵抛物线y'与抛物线y交于点F,
∴F(2,4)。
∵C(0,−2),
∴tan∠OCF=$\frac{2}{4 + 2}$=$\frac{1}{3}$。
∵∠PCB = ∠OCF,
∴tan∠PCB=$\frac{1}{3}$。
如图
(2)，连接CP,作BM⊥CP于点M。
设M(x,y),
∵B(1,0),C(0,−2),F(2,4),
∴BC=$\sqrt{2²+1²}$=$\sqrt{5}$。
在Rt△BMC中,BM²+CM²=BC²=5,BM²=(x−1)²+y²,CM²=x²+(y + 2)²。
∵tan∠PCB=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{1}{3}$,
∴CM = 3BM,
∴$\begin{cases}(x - 1)^{2}+y^{2}+x^{2}+(y + 2)^{2}=5\\9(x - 1)^{2}+9y^{2}=x^{2}+(y + 2)^{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x₁=\frac{3}{2}\\y₁=-\frac{1}{2}\end{cases}$，$\begin{cases}x₂=\frac{3}{10}\\y₂=-\frac{1}{10}\end{cases}$，
∴M($\frac{3}{2}$,$-\frac{1}{2}$)或M($\frac{3}{10}$,$-\frac{1}{10}$)。
∵C(0,−2),
∴设直线CM的解析式为y=px−2,则$\frac{3}{2}p - 2=-\frac{1}{2}$或$\frac{3}{10}p - 2=-\frac{1}{10}$,解得p = 1或7,
∴y=x−2或y = 7x−2,
∴P(2,0)或P($\frac{2}{7}$,0)。
综上，存在这样的点P,点P的坐标为(2,0)或($\frac{2}{7}$,0)。